Completa los huecos: 99 = ? × ? × ?

Step-by-step solution

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   Prueba los primos pequeños en orden. $99$ es impar, así que $2$ queda descartado. La suma de sus cifras es $9+9=18$, múltiplo de $9$, de modo que $99$ es divisible entre $3$ y entre $9$:

   $99\div9=11$

   lo que da la separación en dos factores $99=9\times11$. El criterio de divisibilidad entre 3 por la suma de cifras es lo que hace inmediato este paso, sin necesidad de tanteo.

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   Descompón cualquier factor compuesto que quede. $11$ es primo (no es divisible entre $2$, ni entre $3$, ni entre ningún primo hasta $\sqrt{11}\approx3.3$), pero $9$ no lo es:

   $9=3\times3$

3. 3

   Arma el producto de tres factores.

   $99=3\times3\times11$

   Comprobación: $3\times3=9$ y $9\times11=99$ ✓. Esta es la factorización en números primos, que suele escribirse $99=3^{2}\times11$.

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   Confirma que es la única respuesta genuina. Por la unicidad de la factorización, $99$ tiene exactamente los factores primos $3,3,11$, así que cualquier producto de tres factores que no use $1$ debe ser una reordenación de estos. Escribir $99=1\times9\times11$ también son técnicamente tres factores, pero rellenar con $1$ no aporta nada: la respuesta buscada usa tres factores mayores que $1$.

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   Verifica listando todos los divisores. A partir de $3^{2}\times11$ los divisores son $1,3,9,11,33,99$: seis en total, lo que coincide con la cuenta $(2+1)(1+1)=6$ que predicen los exponentes. Cada divisor aparece en una pareja de factores: $1\times99$, $3\times33$, $9\times11$ ✓.