Un número de tres cifras tiene 0 como cifra de las decenas, y el doble de su cifra de las centenas es 2 más que su cifra de las unidades. Al intercambiar dos de sus cifras se obtiene un número 198 mayor. Halla el número.

Step-by-step solution

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   Codifica la forma del número. Sean los dígitos $a$ (centenas), $b$ (decenas) y $c$ (unidades). El enunciado da la cifra de las decenas como $0$, así que $b=0$ y el número es

   $N=100a+0+c=100a+c$

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   Convierte la segunda frase en una ecuación. El doble de la cifra de las centenas supera en $2$ a la cifra de las unidades:

   $2a=c+2$

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   Averigua qué intercambio puede aumentar el valor. Intercambiar las centenas con las decenas metería $a$ en el lugar de las decenas y haría el número más pequeño, y lo mismo ocurre al intercambiar las decenas con las unidades. Solo el intercambio de las centenas con las unidades puede aumentarlo, y da $100c+a$:

   $100c+a=(100a+c)+198$

   $99c-99a=198\ \Longrightarrow\ c-a=2$

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   Resuelve el sistema de dos ecuaciones. De las dos condiciones, $c=2a-2$ y $c=a+2$. Igualándolas:

   $2a-2=a+2\ \Longrightarrow\ a=4$

   $c=a+2=6$

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   Arma el número y comprueba las dos condiciones. El número es $N=406$. El doble de la cifra de las centenas: $2\times 4=8$, y la cifra de las unidades más $2$ es $6+2=8$ $\checkmark$. El intercambio:

   $604-406=198\quad\checkmark$

   Se cumplen las dos condiciones, así que el número es $406$.