Un número de tres cifras tiene la primera cifra distinta de la última. Al escribir sus cifras al revés se obtiene un segundo número, y al restarlo del original resulta 396. Halla el mayor número con esa propiedad.

Step-by-step solution

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   Escribe los dos números en forma desarrollada. Con cifras $a$, $b$, $c$ (y $a\ne 0$):

   $N=100a+10b+c,\qquad N'=100c+10b+a$

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   Resta y observa cómo desaparece la cifra de las decenas.

   $N-N'=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)$

   La cifra central $b$ se cancela por completo, y esa es toda la gracia del problema: queda totalmente libre.

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   Despeja la diferencia entre cifras.

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=\frac{396}{99}=4$

   Así que la primera cifra supera a la última en exactamente $4$.

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   Maximiza cifra a cifra, de izquierda a derecha. El valor posicional hace que domine la cifra de las centenas, así que toma el mayor $a$ que deje a $c=a-4$ como cifra válida: $a=9$, lo que da $c=5$. Después maximiza la cifra de las decenas. El enunciado solo exige que la primera y la última cifras sean distintas —no dice nada de la central—, así que $b$ puede ser $9$:

   $N=995$

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   Comprueba y entiende por qué 985 no es la respuesta.

   $995-599=396\quad\checkmark$

   Un desliz habitual es suponer que las tres cifras tienen que ser distintas, lo que descartaría $b=9$ y daría el menor $985$ (también válido: $985-589=396$). Pero $995$ es mayor y cumple todas las condiciones enunciadas, así que es el verdadero máximo.