Halla un número de tres cifras A tal que la suma de los dígitos de A sea divisible entre 12, la suma de los dígitos de A + 6 sea divisible entre 12, y A sea mayor que 600 y menor que 900.

Step-by-step solution

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   Recuerda el único hecho que gobierna todos los problemas de este tipo. Sumar $k$ a un número deja la suma de dígitos $k$ unidades mayor (si no hay acarreo) o la reduce en un múltiplo de $9$ por cada acarreo. En concreto, un acarreo en las unidades cambia la suma de dígitos en $k-9$.

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   Descarta el caso sin acarreo. Si $12\mid S$ y no hay acarreo, la nueva suma es $S+6$, que deja resto $6$ módulo $12$ — nunca $0$. Así que sumar $6$ tiene que provocar al menos un acarreo, lo que significa que la cifra de las unidades $b$ cumple $b\ge 4$.

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   Averigua qué hace aquí un solo acarreo. Con exactamente un acarreo la suma de dígitos cambia en $6-9=-3$, quedando $S-3$. Que se cumplan a la vez $12\mid S$ y $12\mid(S-3)$ es imposible, así que hacen falta dos acarreos: la cifra de las decenas también tiene que dar la vuelta, lo que exige que valga $9$. Dos acarreos cambian la suma en $6-9-9=-12$, y $S-12$ es múltiplo de $12$ siempre que lo sea $S$.

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   Impón las condiciones sobre los dígitos. Escribe $A=\overline{hab}$ con $h\in\{6,7,8\}$, $a=9$ y $b\ge 4$. Necesitamos $h+9+b\equiv 0\pmod{12}$, es decir $h+b\equiv 3\pmod{12}$, lo que da $h+b=15$ (el único valor alcanzable con $h\le 8$, $b\le 9$):

   $(h,b)=(6,9),\ (7,8),\ (8,7).$

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   Enumera y verifica.

   $699\to 6+9+9=24,\quad 705\to 7+0+5=12\ \checkmark$
   $798\to 24,\quad 804\to 12\ \checkmark$
   $897\to 24,\quad 903\to 12\ \checkmark$

   Un barrido exhaustivo de $601$ a $899$ devuelve exactamente esos tres, así que cualquiera de ellos es una respuesta válida.