Halla un número de tres cifras A tal que la suma de los dígitos de A sea divisible entre 6, la suma de los dígitos de A + 3 sea divisible entre 6, y A sea mayor que 350 y menor que 400.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija la forma del número. De $350<A<400$ se deduce que la cifra de las centenas es $3$, así que $A=\overline{3ab}$ con $a\in\{5,6,7,8,9\}$ y suma de dígitos $S=3+a+b$.

2. 2

   Deduce cómo cambia la suma de dígitos al sumar 3. Solo hay dos casos:

   • Sin acarreo ($b\le 6$): la cifra de las unidades gana $3$, así que $S\to S+3$.
   • Con acarreo ($b\ge 7$): la cifra de las unidades baja $7$ y la de las decenas gana $1$, así que $S\to S+3-10+1=S-6$.
3. 3

   Descarta el caso sin acarreo. Si $6\mid S$, entonces $S+3$ deja resto $3$ al dividir entre $6$, nunca $0$. Así que el acarreo es obligatorio y

   $b\in\{7,8,9\}.$

   En el caso con acarreo, $S\to S-6$, que es múltiplo de $6$ de forma automática siempre que lo sea $S$: la segunda condición sale gratis.

4. 4

   Impón la condición sobre la suma de dígitos. Exige $3+a+b\equiv 0\pmod 6$ con $a\in\{5,\ldots,9\}$ y $b\in\{7,8,9\}$. Las parejas que sirven son $(a,b)=(6,9),(7,8),(8,7)$, y cada una da $S=18$.

5. 5

   Enumera y verifica las respuestas.

   $369\to 3+6+9=18,\quad 372\to 3+7+2=12\ \checkmark$
   $378\to 18,\quad 381\to 12\ \checkmark$
   $387\to 18,\quad 390\to 12\ \checkmark$

   Un barrido de todos los enteros de $351$ a $399$ confirma que no hay ningún otro.