Halla un número de tres cifras A tal que la suma de los dígitos de A sea divisible entre 5, la suma de los dígitos de A + 4 sea divisible entre 5, y A sea mayor que 350 y menor que 400.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija la cifra de las centenas a partir del rango. Cualquier $A$ con $350<A<400$ empieza por $3$, así que escribe $A=\overline{3ab}$ con la cifra de las decenas $a\in\{5,6,7,8,9\}$ y la de las unidades $b\in\{0,\ldots,9\}$. La suma de dígitos es $S=3+a+b$.

2. 2

   Entiende qué le hace a la suma de dígitos el hecho de sumar 4. Solo hay dos casos:

   • Si $b\le 5$ no hay acarreo y la suma de dígitos sube $4$: $S\to S+4$.
   • Si $b\ge 6$, la cifra de las unidades da la vuelta y la de las decenas gana $1$, así que la suma de dígitos cambia en $4-10+1=-5$: $S\to S-5$.

   Aquí está el meollo. Si $5\mid S$, entonces $S+4$ nunca es múltiplo de $5$, pero $S-5$ siempre lo es.

3. 3

   Concluye que el acarreo es obligatorio. El primer caso es imposible, así que hace falta $b\ge 6$ — y, para que la cifra de las decenas no arrastre a su vez, $a\le 8$ (una cifra de decenas igual a $9$ pasaría a las centenas y volvería a cambiar la aritmética).

4. 4

   Impón la condición sobre la suma de dígitos. Con $b\in\{6,7,8,9\}$ y $a\in\{5,6,7,8\}$, exige

   $3+a+b\equiv 0\pmod 5.$

   Las parejas que sirven son $(a,b)=(5,7)$, con $S=15$; $(6,6)$, con $S=15$; y $(8,9)$, con $S=20$.

5. 5

   Enumera y comprueba las soluciones.

   $A=357:\ 3+5+7=15,\quad 361\to 3+6+1=10\ \checkmark$
   $A=366:\ 3+6+6=15,\quad 370\to 3+7+0=10\ \checkmark$
   $A=389:\ 3+8+9=20,\quad 393\to 3+9+3=15\ \checkmark$

   Un barrido exhaustivo de todos los enteros de $351$ a $399$ confirma que son las tres únicas. Cualquiera de ellas responde a la pregunta.