Halla un número de tres cifras A tal que la suma de los dígitos de A sea divisible entre 4, la suma de los dígitos de A + 2 sea divisible entre 4, y A sea mayor que 200 y menor que 400.

Step-by-step solution

1. 1

   Plantea la forma general. Con $200<A<400$ la cifra de las centenas $h$ es $2$ o $3$. Escribe $A=\overline{hab}$, con suma de dígitos $S=h+a+b$.

2. 2

   Deduce el efecto que tiene sumar 2 sobre la suma de dígitos.

   • Sin acarreo ($b\le 7$): $S\to S+2$.
   • Acarreo en las unidades ($b\in\{8,9\}$, $a\le 8$): la cifra de las unidades baja $8$ y la de las decenas sube $1$, así que $S\to S-7$.
   • Doble acarreo ($b\in\{8,9\}$ y $a=9$): la cifra de las decenas también da la vuelta, así que $S\to S-16$.
3. 3

   Elimina el caso sin acarreo. Si $4\mid S$, entonces $S+2$ deja resto $2$, nunca $0$. Así que $b\in\{8,9\}$ queda forzado. En el caso de un solo acarreo, $S\to S-7$, y $S-7$ es múltiplo de $4$ solo si $S\equiv 3\pmod 4$ — lo que contradice $4\mid S$. Así que el doble acarreo es el único superviviente, y exige además $a=9$: $S\to S-16$, que sigue siendo múltiplo de $4$ de forma automática.

4. 4

   Impón la condición sobre la suma de dígitos con a = 9. Necesitamos $h+9+b\equiv 0\pmod 4$ con $b\in\{8,9\}$:

   • $h=2$: $11+b\equiv 0$ exige $b=9$, con $S=20$;
   • $h=3$: $12+b\equiv 0$ exige $b=8$, con $S=20$.
5. 5

   Enumera y verifica.

   $299\to 2+9+9=20,\quad 301\to 3+0+1=4\ \checkmark$
   $398\to 3+9+8=20,\quad 400\to 4+0+0=4\ \checkmark$

   Un barrido exhaustivo de $201$ a $399$ devuelve exactamente esos dos números, así que cualquiera de ellos responde a la pregunta.