Halla el número de dos cifras cuyos dígitos suman 7 y cuyo número de decenas menos su número de unidades es 43 veces menor que el propio número.

Step-by-step solution

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   Da nombre a los dígitos y escribe el número en forma de valor posicional. Sea $a$ la cifra de las decenas y $b$ la de las unidades, con $1\le a\le 9$ y $0\le b\le 9$. El número en sí es

   $N=10a+b,$

   y no $ab$: este desarrollo es lo que convierte un acertijo de cifras en álgebra corriente.

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   Traduce las dos frases a ecuaciones. La suma de dígitos da $a+b=7$. «La diferencia $a-b$ es $43$ veces menor que $N$» significa que $N$ es $43$ veces esa diferencia:

   $10a+b=43(a-b).$

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   Simplifica la segunda ecuación.

   $10a+b=43a-43b\ \Longrightarrow\ 44b=33a\ \Longrightarrow\ 4b=3a.$

   Dividir entre el factor común $11$ es lo que vuelve legible la relación: los dígitos están en la razón $a:b=4:3$.

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   Combínala con la condición de la suma de dígitos. De $4b=3a$ se obtiene $a=\tfrac{4b}{3}$, y sustituyendo en $a+b=7$:

   $\frac{4b}{3}+b=7\ \Longrightarrow\ \frac{7b}{3}=7\ \Longrightarrow\ b=3,\qquad a=4.$

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   Arma el número y verifícalo. El número es $N=10(4)+3=43$. Comprueba las dos condiciones: la suma de dígitos es $4+3=7$; la diferencia de las cifras es $4-3=1$, y $43\div 1=43$, así que la diferencia es realmente $43$ veces menor. Un barrido exhaustivo de todos los números de dos cifras confirma que $43$ es la única solución.