Halla la raíz cuadrada de 2706.225166081663.

Step-by-step solution

1. 1

   Acota la respuesta con cuadrados perfectos cercanos. $52^2 = 2704$ y $53^2 = 2809$. Como $2704 < 2706.225 < 2809$, la raíz está entre $52$ y $53$, y mucho más cerca de $52$, porque el objetivo solo está $2.225$ por encima de $2704$ dentro de un hueco de anchura $105$.

2. 2

   Consigue una estimación de primer orden. Cerca de $x_0 = 52$ la función cuadrado tiene pendiente $2x_0 = 104$, así que un aumento de $2.225166$ en el cuadrado corresponde a unos

   $\frac{2.225166}{104} \approx 0.021396$

   en la raíz, lo que da la estimación $52.021396$. Esto es exactamente un paso del método de Newton.

3. 3

   Afina con una segunda iteración de Newton. La iteración es $x_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(x_n + \tfrac{N}{x_n}\right)$ con $N = 2706.225166081663$. Partiendo de $x_1 = 52.021396$:

   $\frac{N}{x_1} = 52.021387, \qquad x_2 = \frac{52.021396 + 52.021387}{2} = 52.0213915$

   El método de Newton duplica aproximadamente el número de cifras correctas en cada paso, y por eso una pasada más ya estabiliza seis decimales.

4. 4

   Enuncia el resultado.

   $\sqrt{2706.225166081663} \approx 52.021391$

5. 5

   Verifica elevando al cuadrado. $52.021391^2 = 2706.225122$, que se queda por debajo del objetivo en $4.45 \times 10^{-5}$ — coherente con que la raíz esté truncada al nivel de $10^{-6}$, ya que la derivada $2x \approx 104$ amplifica ese error unas cien veces. Llevando más cifras, $52.0213914278^2 = 2706.2251660844$, que coincide con el número dado hasta once cifras significativas.