Halla la raíz cuadrada de 1595.69.

Step-by-step solution

1. 1

   Acota la respuesta entre dos enteros. Como $39^2=1521$ y $40^2=1600$, y $1595.69$ está entre ellos — mucho más cerca de $1600$ —, la raíz es un poco menor que $40$.

2. 2

   Afina usando la diferencia respecto de 40. Escribe la raíz como $40-d$. Entonces $(40-d)^2=1600-80d+d^2$, y necesitamos que esto valga $1595.69$, es decir, $80d-d^2=4.31$. Despreciando el minúsculo $d^2$ queda $d\approx\tfrac{4.31}{80}=0.0539$, así que la raíz vale aproximadamente $40-0.0539=39.946$.

3. 3

   Acota a dos decimales con cuadrados exactos. Calcula con cuidado, usando $(40-t)^2=1600-80t+t^2$:

   $39.94^2=1600-4.8+0.0036=1595.2036,\qquad 39.95^2=1600-4+0.0025=1596.0025$

   Como $1595.2036<1595.69<1596.0025$, la raíz está entre $39.94$ y $39.95$.

4. 4

   Corrige una acotación que se cita mal a menudo. En algunas soluciones resueltas aparecen los valores $1595.0025$ para $39.95^2$ y $1595.8016$ para $39.96^2$: cada uno es exactamente $1$ unidad demasiado pequeño. Los valores verdaderos son $1596.0025$ y $1596.8016$, y por eso el intervalo correcto es $[39.94,39.95]$ y no $[39.95,39.96]$.

5. 5

   Da el valor con cuatro cifras decimales.

   $\sqrt{1595.69}=39.9460887\ldots\approx39.9461$

   Este valor cae dentro del intervalo ya corregido ✓ y coincide con la estimación lineal de $39.946$ del paso 2 ✓.

6. 6

   Verifica elevando al cuadrado. $39.9461^2=1595.6909$, que se pasa de $1595.69$ en apenas $0.0009$; $39.946^2=1595.6829$, que se queda corto en $0.0071$. Así que $39.9461$ es el mejor redondeo a cuatro decimales ✓. El valor es irracional, ya que $\sqrt{1595.69}=\tfrac{\sqrt{159569}}{10}$ y $159569$ es primo, luego desde luego no es un cuadrado perfecto, así que no existe ningún decimal exacto.