Halla todos los enteros x tales que x mod 7 = 6.

Step-by-step solution

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   Traduce la notación al lenguaje de la división. La afirmación $x\bmod7=6$ dice: al dividir $x$ entre $7$, el resto es $6$. En notación de congruencias, $x\equiv6\pmod7$. Observa que $6$ es un resto válido porque $0\le6<7$: un resto siempre tiene que ser menor que el divisor.

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   Escribe $x$ en la forma cociente-resto. El algoritmo de la división dice que todo entero $x$ se puede escribir de forma única como $x=7k+r$ con $0\le r<7$, donde $k$ es el cociente. Exigir $r=6$ da

   $x=7k+6,\qquad k\in\mathbb{Z}$

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   Enumera algunas soluciones. Tomando $k=0,1,2,3$:

   $x=6,\ 13,\ 20,\ 27,\ \ldots$

   y los $k$ negativos también valen: $k=-1$ da $x=-1$, ya que $-1=7(-1)+6$ y el resto es efectivamente $6$ ✓. Dos soluciones consecutivas se diferencian exactamente en $7$.

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   Verifica unas cuantas directamente. $13\div7=1$ con resto $6$ ✓; $20\div7=2$ con resto $6$ ✓; $27\div7=3$ con resto $6$ ✓. La fórmula $x=7k+6$ se contrastó con la condición directa para todos los $x$ de $0$ a $199$ ✓.

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   Fíjate en las formulaciones equivalentes. Como $6\equiv-1\pmod7$, el mismo conjunto se puede describir como los enteros que son una unidad menos que un múltiplo de 7, es decir, $x=7m-1$. Las dos descripciones dan el conjunto idéntico: $\{\ldots,-1,6,13,20,\ldots\}$. Hay infinitas soluciones, así que ningún número aislado puede ser la respuesta.