Un número de tres cifras tiene todas sus cifras distintas. Al restarle el número escrito con las mismas cifras en orden inverso se obtiene 693. Halle el menor número con esa propiedad.

Step-by-step solution

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   Escriba los dos números en forma de valor posicional. Sean las cifras $a$ (centenas), $b$ (decenas) y $c$ (unidades), de modo que el número es $100a + 10b + c$ y su inverso es $100c + 10b + a$.

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   Reste y observe cómo desaparece la cifra de las decenas.

   $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a-c)$

   La cifra central se cancela por completo: toda diferencia de este tipo es múltiplo de $99$, y $b$ nunca influye en ella.

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   Despeje la diferencia entre cifras.

   $99(a-c) = 693 \quad\Longrightarrow\quad a - c = \frac{693}{99} = 7$

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   Enumere las parejas de cifras y elija la menor cifra de centenas. Con $a, c \in \{0,\dots,9\}$ y $a - c = 7$, las opciones son $(a,c) = (7,0), (8,1), (9,2)$. Para minimizar el número, la cifra de las centenas debe ser lo más pequeña posible, así que se toma $a = 7$, $c = 0$.

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   Elija la menor cifra de decenas admisible. El número es $7b0$, y las tres cifras tienen que ser distintas, así que $b \ne 7$ y $b \ne 0$. La menor opción que queda es $b = 1$, lo que da

   $710$

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   Verifique. El inverso de $710$ es $017 = 17$, y $710 - 17 = 693$. Las cifras $7, 1, 0$ son distintas. Cualquier candidato menor necesitaría $a \le 6$, lo que vuelve imposible $a - c = 7$ porque $c \ge 0$; y $700$ tiene cifras repetidas, mientras que $710$ es el siguiente número de la forma $7b0$.