Calcular (a) (8^(1/3) * 0.333... - 30^(-1)) / (3^(1/2) * 3^(1.5/3) - 1/15) y (b) (2.1333... / (5^(-3) + 1/3))^(-3/2), dando el resultado como fracciones exactas.

Step-by-step solution

1. 1

   Convertir cada decimal periódico en fracción antes de tocar los exponentes. Para un decimal periódico puro, se toma $x=0.333\ldots$; entonces $10x=3.333\ldots$ y, al restar, $9x=3$, de modo que $x=\frac39=\frac13$. Ambos nombres designan el mismo número: $\frac39$ simplemente no está en su forma irreducible.

   Para $2.133\ldots$ el bloque periódico empieza después de una cifra fija, así que se usan dos multiplicadores: con $y=0.1333\ldots$, $100y-10y=13.33\ldots-1.33\ldots=12$, lo que da $y=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$ y

   $2.133\ldots=2+\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$

   Una advertencia sobre una trampa muy frecuente: $0.0333\ldots=\frac{1}{30}$ y no $\frac{3}{9}$. Correr el bloque un lugar a la derecha divide el valor entre $10$.

2. 2

   Simplificar los exponentes racionales en (a). $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$ y, como $1{,}5=\frac32$, resulta $\frac{1{,}5}{3}=\frac12$, de manera que

   $3^{\frac12}\times3^{\frac12}=3^{\frac12+\frac12}=3^{1}=3$

   Sumar los exponentes cuando la base es común es lo que hace que este denominador se reduzca a un número entero.

3. 3

   Calcular por separado el numerador y el denominador de (a).

   $\text{numerador}=2\cdot\frac13-\frac{1}{30}=\frac{20}{30}-\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$

   $\text{denominador}=3-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}-\frac{1}{15}=\frac{44}{15}$

   $\frac{19/30}{44/15}=\frac{19}{30}\times\frac{15}{44}=\frac{19}{2\cdot44}=\frac{19}{88}$

4. 4

   Construir la fracción interior de (b). Como $5^{-3}=\frac{1}{125}$,

   $5^{-3}+\frac13=\frac{3}{375}+\frac{125}{375}=\frac{128}{375}$

   $\frac{32/15}{128/375}=\frac{32}{15}\times\frac{375}{128}=\frac{32\times25}{128}=\frac{25}{4}$

   Los números están elegidos para que el resultado sea un cuadrado perfecto sobre otro cuadrado perfecto, que es la pista para el paso siguiente.

5. 5

   Aplicar el exponente fraccionario negativo. Un exponente negativo invierte la fracción, y el exponente $\frac32$ significa "raíz cuadrada y después elevar al cubo":

   $\left(\frac{25}{4}\right)^{-\frac32}=\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac32}=\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right]^{\frac32}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

6. 6

   Comprobar ambos resultados en forma decimal. $\frac{19}{88}=0.2159\ldots$ y, directamente, $\frac{0.6333}{2.9333}=0.2159$. Para (b), $\frac{8}{125}=0.064$ y $6.25^{-1.5}=0.064$. Los dos coinciden.