Demuestra que 369³ − 219³ es divisible entre 1350.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza con la identidad de la diferencia de cubos en lugar de calcular las potencias. Usando $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ con $a=369$, $b=219$:

   $369^3-219^3=(369-219)\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)=150\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)$

   El primer factor ya aporta buena parte de $1350$.

2. 2

   Compara $150$ con el objetivo $1350$. Como

   $1350=150\cdot 9$

   toda la demostración se reduce a probar que el segundo factor es divisible entre $9$. Plantear la meta de este modo es lo que convierte un cálculo grande en uno pequeño.

3. 3

   Muestra que el segundo factor es múltiplo de 9. Tanto $369$ como $219$ son divisibles entre $3$: $369=3\cdot 123$ y $219=3\cdot 73$. Por lo tanto, cada término de $369^2+369\cdot 219+219^2$ lleva un factor $3^2=9$:

   $369^2+369\cdot 219+219^2=9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   así que el segundo factor es $9$ por un entero, sin necesidad de evaluar nada.

4. 4

   Arma la conclusión.

   $369^3-219^3=150\cdot 9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)=1350\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   que es $1350$ por un entero, con lo que queda probada la divisibilidad.

5. 5

   Confirma con los números concretos. La suma interior es $15129+8979+5329=29437$, de modo que

   $369^3-219^3=1350\cdot 29437=39\,739\,950$

   El cálculo directo coincide: $369^3=50\,243\,409$ y $219^3=10\,503\,459$, y su diferencia es $39\,739\,950\;\checkmark$, con $39\,739\,950\div 1350=29\,437$ exactamente.