Una tienda rebaja sus precios un 20 por ciento del precio original. Unos días después quiere recuperar los precios originales. ¿En qué porcentaje deben subirse los precios rebajados para volver al precio original?

Step-by-step solution

1. 1

   Entender por qué la respuesta no es $20\%$. Un porcentaje es siempre un porcentaje de algo. La bajada del $20\%$ se mide sobre el precio original; la subida que la deshace se mide sobre el precio rebajado, que es menor. Bases distintas significan porcentajes distintos, y en eso consiste todo el problema.

2. 2

   Elegir un precio original cómodo. Los porcentajes no dependen de la escala, así que se toma el precio original igual a $100$ unidades. Cualquier otro valor de partida da el mismo porcentaje como respuesta.

3. 3

   Aplicar el descuento. Una reducción del $20\%$ quita $20$ unidades:

   $100-0.20\cdot 100=80.$

4. 4

   Calcular el aumento como fracción de la nueva base. Para pasar de $80$ de vuelta a $100$ hay que añadir $20$ unidades, y esa ganancia se mide respecto de $80$:

   $\frac{100-80}{80}=\frac{20}{80}=0.25=25\%.$

5. 5

   Confirmar con la fórmula general. Bajar una fracción $p$ y luego subir una fracción $q$ devuelve al punto de partida cuando $(1-p)(1+q)=1$, así que

   $q=\frac{1}{1-p}-1=\frac{p}{1-p}.$

   Con $p=0.20$ resulta $q=\dfrac{0.20}{0.80}=0.25$. Comprobación: $80\times 1.25=100$. El aumento necesario es del $25\%$.