Un campamento de verano tiene 54 niños y 48 niñas. Se reparten en grupos de modo que cada grupo tenga el mismo número de niños y el mismo número de niñas, y todos queden en algún grupo. ¿Cuál es el mayor número posible de grupos?

Step-by-step solution

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   Traduce las condiciones a divisibilidad. Si hay $g$ grupos con $b$ niños cada uno y $h$ niñas cada uno, entonces $gb=54$ y $gh=48$. Así que $g$ debe dividir a la vez a $54$ y a $48$: el número de grupos es un divisor común, y "la mayor cantidad posible de grupos" significa el máximo común divisor.

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   Factoriza los dos totales en primos.

   $54=2\times 3^3,\qquad 48=2^4\times 3$

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   Toma el exponente menor de cada primo compartido. Los primos comunes a ambos son $2$ y $3$:

   $\gcd(54,48)=2^{\min(1,4)}\times 3^{\min(3,1)}=2\times 3=6$

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   Confirma que el reparto funciona de verdad. Con $g=6$,

   $\frac{54}{6}=9\ \text{niños por grupo},\qquad \frac{48}{6}=8\ \text{niñas por grupo}$

   Los dos son números enteros y $6\times 9=54$, $6\times 8=48$, así que no sobra nadie.

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   Comprueba que $7$ grupos o más es imposible. Los divisores de $54$ son $1,2,3,6,9,18,27,54$ y los de $48$ son $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$. Sus divisores comunes son únicamente $1,2,3,6$, así que $6$ es de verdad el mayor: cualquier cantidad superior deja de dividir al menos a uno de los dos totales. Como comprobación cruzada, el algoritmo de Euclides da $54=48+6$, $48=8\times 6+0$, así que $\gcd=6$.