Las fracciones 2/3, 5/8, 8/13, 11/18, ... siguen un patrón fijo. Un término posterior del patrón es X/253 y otro es 1499/Y. Hallar el máximo común divisor de X e Y.

Step-by-step solution

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   Tratar los numeradores y los denominadores como dos sucesiones separadas. No interactúan entre sí, así que cada una se puede describir por su cuenta. Los numeradores $2,5,8,11,\dots$ crecen de $3$ en $3$; los denominadores $3,8,13,18,\dots$ crecen de $5$ en $5$. Ambas son aritméticas.

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   Escribir una fórmula para el término $n$-ésimo de cada una. Usando $\text{primero}+d(n-1)$:

   $\text{numerador}=2+3(n-1)=3n-1,\qquad \text{denominador}=3+5(n-1)=5n-2$

   Comprobación rápida en $n=4$: $3(4)-1=11$ y $5(4)-2=18$, que coinciden con $\tfrac{11}{18}$.

3. 3

   Localizar el término cuyo denominador es 253. Resolver $5n-2=253$ da $n=51$ — un entero, así que ese término pertenece realmente al patrón. Su numerador es

   $X=3(51)-1=152$

4. 4

   Localizar el término cuyo numerador es 1499. Resolver $3n-1=1499$ da $n=500$, de nuevo un entero. Su denominador es

   $Y=5(500)-2=2498$

5. 5

   Factorizar ambos números antes de calcular el MCD. Adivinar no es seguro con un número de cuatro cifras:

   $152=2^3\times 19,\qquad 2498=2\times 1249$

   y $1249$ es primo (no lo divide ningún primo hasta $35$).

6. 6

   Tomar la parte común. El único primo compartido es $2$, que aparece una sola vez en $2498$, así que

   $\gcd(152,\,2498)=2$

   El algoritmo de Euclides coincide: $2498=16\cdot152+66$, $152=2\cdot66+20$, $66=3\cdot20+6$, $20=3\cdot6+2$, $6=3\cdot2+0$.