Una cinta se puede cortar exactamente en trozos de 9 cm o exactamente en trozos de 12 cm. ¿Cuál es la longitud más corta posible de la cinta?

Step-by-step solution

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   Traduce el enunciado a una afirmación sobre divisibilidad. «Se corta exactamente en trozos de 9 cm» significa que la longitud $L$ es múltiplo de $9$; «exactamente en trozos de 12 cm» significa que $L$ es múltiplo de $12$. Así que $L$ es un múltiplo común de $9$ y $12$, y «la más corta» lo convierte en el mínimo común múltiplo, no en el máximo común divisor, que es la confusión clásica en este tipo de problema.

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   Factoriza ambos números en primos.

   $9=3^2,\qquad 12=2^2\times 3$

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   Toma la mayor potencia de cada primo. Para el m.c.m. te quedas con el exponente mayor de cada primo que aparezca en cualquiera de los dos números: $2^2$ de $12$ y $3^2$ de $9$.

   $\operatorname{lcm}(9,12)=2^2\times 3^2=4\times 9=36$

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   Comprueba que las dos divisiones son exactas.

   $36\div 9=4\ \text{trozos},\qquad 36\div 12=3\ \text{trozos}$

   Las dos son números enteros, así que $36$ cm funciona de verdad.

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   Confirma que nada menor sirve. Los múltiplos de $12$ por debajo de $36$ son $12$ y $24$; ninguno es divisible entre $9$ ($12\div9$ y $24\div9$ no son enteros). Así que $36$ cm es la cinta más corta ✓.