Halla el mayor palíndromo de seis cifras que sea divisible entre 45.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe el palíndromo general de seis cifras. Tiene el patrón de dígitos $abccba$, así que

   $N=\overline{abccba},\qquad a\neq 0$

   Solo $a$, $b$ y $c$ son libres: tres cifras, no seis.

2. 2

   Descompón 45 en factores coprimos. Como $45=9\times 5$ y $\gcd(9,5)=1$, el número tiene que ser divisible entre $9$ y entre $5$. Eso da dos condiciones independientes sobre las cifras.

3. 3

   Aplica la divisibilidad entre 5 para fijar $a$. La última cifra debe ser $0$ o $5$. En un palíndromo la última cifra coincide con la primera, y la primera cifra de un número de seis dígitos no puede ser $0$. Por lo tanto

   $a=5,\qquad N=\overline{5bcc b5}$

4. 4

   Aplica la divisibilidad entre 9 para restringir $b+c$. La suma de las cifras es

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c=2(b+c+5)$

   Esto debe ser múltiplo de $9$. Como $\gcd(2,9)=1$, el factor $2$ se puede descartar:

   $b+c+5\equiv 0\pmod 9\ \Longrightarrow\ b+c\equiv 4\pmod 9$

   así que $b+c=4$ o $b+c=13$ (los únicos valores alcanzables con dos cifras).

5. 5

   Maximiza el valor posicional desde la izquierda. Con $a$ fijado en $5$, la siguiente cifra libre más significativa es $b$, así que toma $b=9$. Entonces $c\equiv 4-9\equiv 4\pmod 9$ exige $b+c=13$, lo que da $c=4$:

   $N=594495$

6. 6

   Verifica las dos condiciones de divisibilidad. Suma de cifras: $5+9+4+4+9+5=36$, y $36=4\times 9$ $\checkmark$. Última cifra $5$ $\checkmark$. Directamente:

   $594495\div 45=13211\quad\checkmark$

   Un barrido descendente por todos los palíndromos de seis cifras confirma que ninguno mayor funciona, así que $594495$ es la respuesta.