Las fracciones 3/5, 7/11, 11/17, 15/23, ... siguen un patrón fijo. Un término posterior es A/305 y otro es 1999/B. Halla el máximo común divisor de A y B.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata los numeradores y los denominadores como dos sucesiones separadas. Numeradores: $3,7,11,15,\ldots$ aumentan $4$ cada vez. Denominadores: $5,11,17,23,\ldots$ aumentan $6$. Ambas son aritméticas, así que cada una tiene una forma cerrada:

   $\text{numerador}_n=3+4(n-1)=4n-1$

   $\text{denominador}_n=5+6(n-1)=6n-1$

   Comprobación puntual en $n=4$: $4(4)-1=15$ y $6(4)-1=23$ $\checkmark$.

2. 2

   Localiza el término cuyo denominador es 305.

   $6n-1=305\ \Longrightarrow\ 6n=306\ \Longrightarrow\ n=51$

   Que $n$ haya salido entero confirma que $305$ realmente pertenece a la sucesión. Su numerador es

   $A=4(51)-1=203$

3. 3

   Localiza el término cuyo numerador es 1999.

   $4n-1=1999\ \Longrightarrow\ 4n=2000\ \Longrightarrow\ n=500$

   $B=6(500)-1=2999$

4. 4

   Factoriza ambos números antes de dar por hecho que hay un divisor común.

   $203=7\times 29$

   Para $B=2999$, la división de prueba entre todos los primos hasta $\sqrt{2999}\approx 54.8$ — $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53$ — deja resto en todos los casos, así que $2999$ es primo.

5. 5

   Calcula el máximo común divisor. Como $2999$ es primo, los únicos candidatos a factor compartido son $1$ y el propio $2999$, y $2999\nmid 203$. Confirmando con el algoritmo de Euclides:

   $2999=14\times 203+157,\quad 203=1\times 157+46,\quad 157=3\times 46+19$

   $46=2\times 19+8,\quad 19=2\times 8+3,\quad 8=2\times 3+2,\quad 3=1\times 2+1,\quad 2=2\times 1$

   $\gcd(203,2999)=1$

   Los dos números son coprimos. (Resulta tentador escribir $2999=29\times 103$ y concluir que la respuesta es $29$, pero $29\times 103=2987$, no $2999$ — una factorización que conviene comprobar multiplicando de vuelta.)