Evalúa 10^0.2.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte el exponente decimal en fracción. Las reglas de los exponentes están enunciadas para fracciones, así que reescribe $0.2$ en esa forma:

   $0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

   Simplificar a $\tfrac15$ importa: revela una fracción unitaria, que corresponde a una raíz simple, sin ninguna potencia adicional.

2. 2

   Aplica la regla del exponente fraccionario. Para una base positiva, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$, así que

   $10^{0.2}=10^{1/5}=\sqrt[5]{10}$

   Este es el valor exacto: el número que, elevado a la quinta potencia, da $10$.

3. 3

   Estima antes de calcular. Como $1^{5}=1$ y $2^{5}=32$, la respuesta está entre $1$ y $2$, y mucho más cerca de $1.5$ que de $2$, porque $1.5^{5}\approx7.6$ ya está cerca de $10$. Esa acotación descarta los errores gruesos.

4. 4

   Da el valor decimal.

   $\sqrt[5]{10}\approx1.5848932$

   Comprueba elevándolo de vuelta: $1.5848932^{5}=10.000000$ ✓ con siete cifras, y los dos cálculos $10^{0.2}$ y $10^{1/5}$ coinciden con precisión de máquina ✓.

5. 5

   Observa dónde aparece esta constante. $10^{0.2}$ es la razón entre bandas de frecuencia consecutivas de un tercio de octava en acústica, y $10^{1/10}\approx1.2589$ (su raíz cuadrada) es el factor que corresponde a un decibel de potencia. También vale la pena recordar que $\left(10^{0.2}\right)^{5}=10^{1}=10$, así que cinco de estos factores se multiplican para dar una década exacta.