Integral definida vs integral indefinida

Tanto las integrales definidas como las indefinidas usan las mismas técnicas de integración (sustitución, por partes, fracciones parciales), pero responden a preguntas fundamentalmente distintas y producen cosas fundamentalmente distintas.

Qué es cada una

Integral indefinida $\int f(x) \, dx$ — produce una función, la familia de antiderivadas:

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

donde $F'(x) = f(x)$. El "+C" te recuerda que hay infinitas antiderivadas (cualquier desplazamiento vertical sirve).

Integral definida $\int_a^b f(x) \, dx$ — produce un número, el área con signo entre la curva $y = f(x)$ y el eje x en el intervalo $[a, b]$:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

(Teorema fundamental del cálculo.)

Diferencias clave de un vistazo

Aspecto	Indefinida	Definida
Resultado	Función $F(x) + C$	Número
Límites	Ninguno	$a$ (inferior) y $b$ (superior)
"+C" necesario	Sí	No (se cancela en la resta)
Significado geométrico	Familia de antiderivadas	Área con signo

Ejemplo resuelto

Evalúa ambas para $f(x) = 2x$.

Indefinida: $\int 2x \, dx = x^2 + C$.

Definida de 0 a 3: $\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.

El número 9 es el área del triángulo limitado por $y = 2x$, $x = 0$, $x = 3$ — y, en efecto, ese triángulo tiene base 3 y altura 6, así que el área $= \frac{1}{2}(3)(6) = 9$. ✓

Área "con signo": ¿qué significa eso?

Cuando $f(x) < 0$ en $[a, b]$, la integral definida es negativa. Sigue representando área (en valor absoluto), pero con un signo que indica que la curva está por debajo del eje.

Ejemplo: $\int_0^\pi \sin x \, dx = 2$ (sobre el eje, positiva). $\int_\pi^{2\pi} \sin x \, dx = -2$ (bajo el eje, negativa). $\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = 0$ (se cancela).

Si quieres el área sin signo, integra $|f(x)|$ — divide en los cruces por cero.

Cómo se conectan: el teorema fundamental

El puente entre ambas es el teorema fundamental del cálculo, que dice:

1. La derivación y la integración son operaciones inversas.
2. Las integrales definidas se pueden calcular hallando cualquier antiderivada (cualquier integral indefinida) y evaluándola en los extremos.

Por eso dominar las integrales indefinidas es el requisito previo para calcular integrales definidas.

Errores comunes

• Olvidar el "+C" en las integrales indefinidas — medio punto menos en la mayoría de los deberes.
• Incluir el "+C" en las integrales definidas — se cancela en $F(b) - F(a)$ y añadirlo refleja confusión.
• Sustituir los límites antes de integrar al usar sustitución por u con integrales definidas — cambia los límites a la nueva variable, o vuelve primero a $x$. Cualquiera funciona, pero mezclarlos causa errores.

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