Series de Taylor explicadas: aproximar cualquier función con polinomios

Si las derivadas capturan la pendiente de una función en un punto, las series de Taylor capturan la función entera en un punto —apilando un número infinito de derivadas. Son el puente entre el cálculo y la computación numérica: cada vez que tu calculadora calcula $\sin(0.4)$, está sumando una serie de Taylor por debajo.

La fórmula de la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función $f$ centrada en $x = a$ es:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

Es decir: evalúa $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … en el punto $a$, luego construye un polinomio cuyo $n$-ésimo término es $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Cuando $a = 0$, la serie se llama serie de Maclaurin —el caso más común.

¿Por qué funciona esto?

Alrededor del punto $a$, una función se parece a su recta tangente (término $n=1$), luego a una parábola que incluye la curvatura ($n=2$), luego a una cúbica, y así sucesivamente. Cada derivada superior captura información de forma más fina. Suma infinitas y (para funciones "bonitas") recuperas $f$ exactamente.

Tres desarrollos clásicos de Maclaurin

Memoriza estos tres —aparecen constantemente:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

La serie de la exponencial tiene todas las potencias; el seno tiene solo potencias impares; el coseno solo potencias pares. Esa simetría es una consecuencia directa de qué derivadas se anulan en $0$.

Ejemplo resuelto: construir $\sin x$ desde cero

Sea $f(x) = \sin x$. En $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• El patrón se repite cada 4 derivadas.

Sustituye en la fórmula de Taylor:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
que se simplifica a $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. Igual que la fórmula de arriba.

Aproximación en la práctica

Para $x$ pequeño cerca de 0, incluso los primeros términos son extremadamente precisos:

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (valor real: $0.0998334\dots$).

Por eso la aproximación de ángulo pequeño $\sin x \approx x$ es válida: el término siguiente es minúsculo cuando $x$ es pequeño.

Convergencia: ¿cuándo es realmente igual a $f$?

Las series de Taylor tienen un radio de convergencia $R$. Para $|x - a| < R$ la serie es igual a $f(x)$; fuera de él, la serie diverge. Algunas funciones ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) tienen $R = \infty$. Otras, como $1/(1-x)$ centrada en 0, tienen $R = 1$.

Errores comunes

• Olvidar los denominadores factoriales $n!$.
• Confundir los desarrollos en serie —el seno tiene impares, el coseno pares, $e^x$ todas.
• Suponer la convergencia sin comprobar el radio.

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Usa la Calculadora de series para calcular desarrollos de Taylor de cualquier función —muestra los pasos de las derivadas, el polinomio resultante y una comprobación numérica de cordura.

Enlaces relacionados:

• Calculadora de derivadas —los bloques de construcción de toda serie de Taylor
• Calculadora de límites —la convergencia es una cuestión de límites
• Calculadora de integrales —las series de Taylor se pueden integrar término a término