Tres formas de resolver sistemas de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar valores que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente. Cada una de las tres técnicas estándar tiene su punto fuerte; saber cuál elegir ahorra tiempo en cada tarea.

Método 1: Sustitución

Mejor cuando una variable ya está despejada (o es fácil de despejar).

Procedimiento:

1. Despeja una variable en una ecuación.
2. Sustituye esa expresión en la otra ecuación.
3. Resuelve la ecuación de una variable resultante.
4. Sustituye hacia atrás para hallar la segunda variable.

Ejemplo: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

• $y$ ya está despejada. Sustituye en la segunda: $3x + (2x + 1) = 11$, así que $5x = 10$, $x = 2$.
• Sustituye hacia atrás: $y = 2(2) + 1 = 5$.
• Solución: $(2, 5)$.

Método 2: Eliminación (combinación lineal)

Mejor cuando los coeficientes se alinean para cancelar una variable al sumar/restar.

Procedimiento:

1. Multiplica una o ambas ecuaciones por constantes para que los coeficientes de una variable sean opuestos (p. ej., $+3y$ y $-3y$).
2. Suma las ecuaciones para eliminar esa variable.
3. Resuelve la ecuación de una variable restante.
4. Sustituye hacia atrás.

Ejemplo: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

• $3y$ y $-3y$ ya son opuestos. Suma: $6x = 18$, $x = 3$.
• Sustituye hacia atrás: $2(3) + 3y = 12$, $3y = 6$, $y = 2$.
• Solución: $(3, 2)$.

Método 3: Métodos matriciales

Para sistemas más grandes (3+ variables) o resolución asistida por computadora:

• Regla de Cramer: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ donde $A_i$ es $A$ con la $i$-ésima columna reemplazada por las constantes. Funciona para cualquier tamaño, pero el cálculo de $\det$ crece rápido.
• Eliminación gaussiana: reduce por filas la matriz aumentada $[A | \vec{b}]$ a la forma escalonada y sustituye hacia atrás. El método estándar para sistemas grandes.
• Matriz inversa: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$. Funciona solo si $A$ es cuadrada e invertible (determinante no nulo).

Para sistemas 2×2 a mano, la sustitución o la eliminación casi siempre ganan. Los métodos matriciales brillan con 3+ variables.

Tres posibilidades para el conjunto solución

Todo sistema lineal tiene exactamente una de estas:

• Una solución única: las rectas (o planos) se cortan en un punto.
• Sin solución: las ecuaciones se contradicen (rectas paralelas que no se cruzan) —el sistema es incompatible.
• Infinitas soluciones: las ecuaciones describen la misma recta/plano —el sistema es dependiente.

Señal algebraica:

• "$x = 5$" → única.
• "$0 = 7$" → contradicción → sin solución.
• "$0 = 0$" → tautología → infinitas soluciones.

Errores comunes

• Errores de signo al distribuir durante la sustitución. Usa paréntesis con cuidado.
• Olvidar multiplicar ambos lados al escalar en la eliminación.
• Detenerse tras hallar $x$. Ambas variables importan; sustituye hacia atrás.
• Ignorar la incompatibilidad. Si obtienes $0 = 7$, esa es la respuesta ("sin solución"), no un error de cálculo.

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Relacionado:

• Calculadora de ecuaciones lineales
• Ejemplo resuelto: 2x+y=7 y x-y=2
• Ejemplo resuelto: x+y=10 y x-y=4