Rechner für lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine Polynomgleichung ersten Grades in einer Variablen mit der allgemeinen Form:

$ax + b = 0$

wobei $a$ und $b$ Konstanten sind und $a \neq 0$. Das Wort "linear" kommt daher, dass der Graph einer solchen Gleichung eine Gerade ist.

Allgemeiner kann eine lineare Gleichung in einer Variablen erscheinen als:

$ax + b = cx + d$

was sich immer in die Standardform umstellen lässt. Die Lösung ist der Wert von $x$, der beide Seiten der Gleichung gleich macht.

Lineare Gleichungen sind die Grundlage der Algebra und tauchen überall im echten Leben auf — vom Berechnen von Kosten und Entfernungen über das Umrechnen von Einheiten bis zum Ausgleichen von Budgets. Sie haben immer genau eine Lösung (vorausgesetzt $a \neq 0$), was sie zur einfachsten zu lösenden Gleichungsart macht.

Wichtige Merkmale linearer Gleichungen:

• Die Variable $x$ tritt nur in erster Potenz auf (kein $x^2$, $\sqrt{x}$ usw.)
• Der Graph ist immer eine Gerade
• Es gibt genau eine Lösung
• Sie lassen sich immer in einer endlichen Zahl algebraischer Schritte lösen

Eine lineare Gleichung zu lösen bedeutet, die Variable auf einer Seite zu isolieren. Hier sind die wichtigsten Ansätze:

1. Grundlegende Isolierungsmethode

Für Gleichungen der Form $ax + b = c$:

1. Subtrahiere $b$ von beiden Seiten: $ax = c - b$
2. Dividiere beide Seiten durch $a$: $x = \frac{c - b}{a}$

Beispiel: Löse $3x + 7 = 22$

• $3x = 22 - 7 = 15$
• $x = \frac{15}{3} = 5$

2. Variablen auf beiden Seiten

Für Gleichungen wie $ax + b = cx + d$:

1. Bringe alle Variablenterme auf eine Seite: $(a - c)x + b = d$
2. Bringe die Konstanten auf die andere Seite: $(a - c)x = d - b$
3. Dividiere: $x = \frac{d - b}{a - c}$

Beispiel: Löse $4x - 3 = 2x + 9$

• $4x - 2x = 9 + 3$
• $2x = 12$
• $x = 6$

3. Gleichungen mit Klammern

Multipliziere zuerst aus, dann fasse gleichartige Terme zusammen:

Beispiel: Löse $5(x - 2) = 3x + 4$

• $5x - 10 = 3x + 4$
• $2x = 14$
• $x = 7$

4. Gleichungen mit Brüchen

Multipliziere beide Seiten mit dem Hauptnenner, um Brüche zu beseitigen:

Beispiel: Löse $\frac{x}{3} + 2 = 7$

• Multipliziere mit 3: $x + 6 = 21$
• $x = 15$

• Vergessen, Operationen auf beide Seiten anzuwenden: Was du mit einer Seite machst, musst du auch mit der anderen tun.
• Vorzeichenfehler beim Verschieben von Termen: Wenn man $+5$ auf die andere Seite bringt, wird es zu $-5$, nicht zu $+5$.
• Nicht korrekt ausmultiplizieren: $3(x - 4) = 3x - 12$, nicht $3x - 4$.
• Durch null teilen: Endest du bei $0x = 5$, hat die Gleichung keine Lösung; bei $0x = 0$ hat sie unendlich viele Lösungen.
• Vergessen, Brüche zu kürzen: Kürze dein Endergebnis immer vollständig.