Rechner für quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist die algebraische Technik, einen quadratischen Term $ax^2 + bx + c$ umzuschreiben als:

$a(x - h)^2 + k$

wobei $(h, k)$ der Scheitelpunkt der Parabel ist.

Warum das wichtig ist:

• Macht den Scheitelpunkt (Minimum/Maximum) einer Parabel auf einen Blick sichtbar.
• Erlaubt es, jede quadratische Gleichung ohne die Mitternachtsformel zu lösen.
• Ist die zugrunde liegende Technik, die die Mitternachtsformel herleitet.
• Wird in der Analysis verwendet, um $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ zu berechnen (führt auf arctan).
• Unverzichtbar zum Verständnis von Gauß-Integralen und vielen Themen der Physik.

Die Kernidentität, die das ermöglicht:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Fall 1: Leitkoeffizient ist 1

Für $x^2 + bx + c$:

1. Nimm die Hälfte von $b$ und quadriere sie: $(b/2)^2$.
2. Addiere und subtrahiere diese Größe: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Fasse das vollständige Quadrat zusammen: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Beispiel: $x^2 + 6x + 5$

• Die Hälfte von 6 ist 3. Quadriert: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Scheitelpunktform: $(x + 3)^2 - 4$, Scheitelpunkt bei $(-3, -4)$.

Fall 2: Leitkoeffizient ist nicht 1

Für $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Klammere $a$ aus den ersten beiden Termen aus: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Führe die quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durch: die Hälfte von $b/a$ ist $b/(2a)$, quadriert $b^2/(4a^2)$.
3. Addiere und subtrahiere innen: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Vereinfache: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Beachte, dass du beim 'Rückgängigmachen' des hinzugefügten Terms mit $a$ multiplizierst, da das Innere mit $a$ multipliziert wird.

Eine quadratische Gleichung lösen

Für $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Führe die quadratische Ergänzung durch, um $a(x - h)^2 + k = 0$ zu erhalten.
2. Isoliere den quadrierten Term: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Ziehe die Wurzel: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Löse: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

Das ist im Wesentlichen das, was die Mitternachtsformel in einem einzigen kompakten Ausdruck tut.

• Das Ausgleichen vergessen: Wenn du $(b/2)^2$ addierst, musst du es auch subtrahieren. Sonst hast du den Ausdruck verändert.
• Falsche Behandlung des Koeffizienten: Falls $a \neq 1$, musst du $a$ aus den ersten beiden Termen ausklammern, bevor du die quadratische Ergänzung durchführst, und dann deine Korrektur beim Zurückverteilen mit $a$ multiplizieren.
• Vorzeichenfehler mit $\pm$: Nach dem Wurzelziehen müssen beide Zweige behalten werden. Lässt man das $\pm$ weg, geht eine Lösung verloren.
• Hälfte von $b$ vs. $b/2a$: Wenn der Leitkoeffizient 1 ist, nimm die Hälfte von $b$. Wenn nicht, klammere zuerst aus — nimm dann die Hälfte des neuen Koeffizienten.
• Vergessen, die Konstante zu vereinfachen: Fasse nach der quadratischen Ergänzung die übrig gebliebenen Konstanten zu einem einzigen $k$ zusammen.