Faktorisierungsrechner

Faktorisierung (oder Faktorzerlegung) ist der Prozess, einen Polynomausdruck in ein Produkt einfacherer Ausdrücke, genannt Faktoren, zu zerlegen. Sie ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens.

Zum Beispiel:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Die linke Seite ist ein einzelnes Polynom; die rechte Seite ist derselbe Ausdruck, geschrieben als Produkt zweier Binome.

Faktorisierung ist in der Algebra unverzichtbar, weil sie uns Folgendes ermöglicht:

• Gleichungen lösen: Jeden Faktor null setzen liefert die Nullstellen.
• Brüche vereinfachen: Gemeinsame Faktoren in rationalen Ausdrücken kürzen.
• Verhalten analysieren: Nullstellen, Asymptoten und Vorzeichenwechsel erkennen.

Ein Polynom ist vollständig faktorisiert, wenn jeder Faktor irreduzibel ist (über den ganzen Zahlen nicht weiter faktorisierbar). Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass jedes Polynom vom Grad $n$ über den komplexen Zahlen in genau $n$ Linearfaktoren zerlegt werden kann.

Häufige Arten der Faktorisierung sind:

• Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern
• Trinome faktorisieren
• Dritte binomische Formel: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• Summe/Differenz von Kuben
• Faktorisierung durch Gruppieren

Hier sind die wichtigsten Faktorisierungstechniken, vom einfachsten zum fortgeschrittensten geordnet:

1. Den ggT ausklammern

Beginne immer damit, den größten gemeinsamen Teiler auszuklammern.

Beispiel: $6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. Dritte binomische Formel

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Beispiel: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. Vollständige quadratische Trinome

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Beispiel: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. Trinom-Faktorisierung ($x^2 + bx + c$)

Finde zwei Zahlen $p$ und $q$, sodass $p + q = b$ und $p \cdot q = c$:

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

Beispiel: $x^2 - 5x + 6$: finde $p + q = -5$ und $pq = 6$ → $p = -2, q = -3$

Also $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. AC-Methode (für $ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 1$)

Multipliziere $a \cdot c$, finde zwei Zahlen, die multipliziert $ac$ und addiert $b$ ergeben, dann zerlege und gruppiere.

Beispiel: $2x^2 + 7x + 3$: $ac = 6$, finde $1 + 6 = 7$

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. Summe/Differenz von Kuben

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. Faktorisierung durch Gruppieren

Gruppiere die Terme paarweise und faktorisiere jedes Paar, dann klammere das gemeinsame Binom aus.

• Vergessen, zuerst den ggT auszuklammern: Prüfe immer auf einen gemeinsamen Faktor, bevor du andere Techniken anwendest.
• Differenz und Summe von Quadraten verwechseln: $a^2 - b^2$ lässt sich faktorisieren, aber $a^2 + b^2$ lässt sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren.
• Vorzeichenfehler bei der Trinom-Faktorisierung: Wenn $c > 0$ und $b < 0$, sind sowohl $p$ als auch $q$ negativ.
• Zu früh aufhören: Prüfe, ob jeder Faktor weiter faktorisiert werden kann (z. B. $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$).
• Nicht durch Ausmultiplizieren überprüfen: Multipliziere deine Faktoren immer wieder aus, um zu bestätigen, dass sie dem ursprünglichen Ausdruck entsprechen.