Die Wahrscheinlichkeit quantifiziert Unsicherheit. Die gute Nachricht: Die meisten Hausaufgabenprobleme laufen auf eine kleine Menge von Regeln und die Bereitschaft, sorgfältig zu zählen, hinaus. Dieser Leitfaden behandelt die Grundlage, die du brauchst, bevor du zu Verteilungen, Hypothesentests oder Bayes'scher Inferenz übergehst.

Was "Wahrscheinlichkeit" bedeutet

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ ist

$P(A) = \frac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$

unter der Annahme, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. $P(A) \in [0, 1]$ :

$0$ = unmöglich.
$1$ = sicher.
$0.5$ = ein Münzwurf.

Für nicht gleich wahrscheinliche Ergebnisse weist du jedem Ergebnis Gewichte zu (genau das macht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung).

Die drei Kernregeln

Additionsregel (Wahrscheinlichkeit von A oder B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Ziehe die Schnittmenge ab, damit du nicht doppelt zählst. Wenn $A$ und $B$ einander ausschließen (nicht beide eintreten können), ist die Schnittmenge null.

Beispiel: Beim Ziehen einer Karte aus einem Stapel mit 52 Karten ist $P(\text{King or Heart}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$ . (Eine Karte ist sowohl König als auch Herz, daher der Abzug.)

Multiplikationsregel (Wahrscheinlichkeit von A und B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Wenn $A$ und $B$ unabhängig sind (das eine beeinflusst das andere nicht), ist $P(B | A) = P(B)$ , was sich zu $P(A) \cdot P(B)$ vereinfacht.

Beispiel: Beim Würfeln mit zwei Würfeln ist $P(\text{both 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$ . (Die Würfe sind unabhängig.)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Die Wahrscheinlichkeit von $B$ , gegeben dass $A$ eingetreten ist. Grundlage des Satzes von Bayes und eines Großteils der schließenden Statistik.

Beispiel: Eine gezogene Karte ist eine Bildkarte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein König ist?

$P(\text{King and face card}) = 4/52$ .
$P(\text{face card}) = 12/52$ .
$P(\text{King | face}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$ .

Zählen: Permutationen und Kombinationen

Für $n$ Objekte, aus denen $r$ gewählt werden:

Permutationen (Reihenfolge zählt): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ .
Kombinationen (Reihenfolge zählt nicht): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

Die Entscheidung lautet: "Ergibt das Vertauschen zweier meiner gewählten Objekte ein anderes Ergebnis?":

Ja (z. B. Gold- vs. Silbermedaille) → Permutation.
Nein (z. B. ein Komitee aus 5 Personen wählen) → Kombination.

Durchgerechnetes Beispiel: Lotterie

Wähle 6 Zahlen aus 49. Die Reihenfolge auf deinem Schein spielt keine Rolle — Kombination.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Also ist $P(\text{winning a 6-number jackpot}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$ .

Unabhängig vs. einander ausschließend (nicht verwechseln!)

Unabhängig: Die Kenntnis von $A$ ändert $P(B)$ nicht. Münzwürfe sind unabhängig.
Einander ausschließend: $A$ und $B$ können nicht beide eintreten. Ein Würfelwurf kann nicht gleichzeitig 1 und 2 sein.

Zwei Ereignisse können das eine, das andere, beides oder keines von beiden sein. Es handelt sich nicht um dasselbe Konzept, auch wenn die beiden häufig verwechselt werden.

Häufige Fehler

Der Spielerfehlschluss: "Ich habe 5-mal hintereinander Kopf geworfen, also muss der nächste Wurf Zahl sein." Münzwürfe sind unabhängig — die Vergangenheit ändert die zukünftige Wahrscheinlichkeit nicht.
Nicht einander ausschließende Wahrscheinlichkeiten addieren, ohne die Schnittmenge abzuziehen. $P(\text{King}) + P(\text{Heart}) \neq P(\text{King or Heart})$ .
$P(A | B)$ mit $P(B | A)$ verwechseln. Der klassische Anklägerfehlschluss: "Gegeben dass der Angeklagte unschuldig ist, ist die Wahrscheinlichkeit dieser Beweise gering; also ist, gegeben die Beweise, die Wahrscheinlichkeit der Unschuld gering." Logisch falsch, ohne den Satz von Bayes anzuwenden.

Probiere es selbst aus

Gib ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsproblem in den Wahrscheinlichkeitsrechner ein — Addition, Multiplikation, bedingt, mit Kombinatorik. Die KI führt dich durch jeden Schritt.

Verwandt:

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit: Regeln, Kombinatorik und Beispiele

Eine klare Einführung in die Wahrscheinlichkeit — Definitionen, die Additions-/Multiplikations-/bedingten Regeln, Permutationen und Kombinationen sowie durchgerechnete Beispiele.