Permutation vs. Kombination

Permutationen und Kombinationen sehen fast identisch aus, bis Sie eine Frage stellen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Beantworten Sie das falsch, und Ihre Wahrscheinlichkeitsantwort liegt um den Faktor $r!$ oder mehr daneben. Hier ist die klare Unterscheidung mit durchgerechneten Beispielen.

Die Kernfrage: Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

• Ja, die Reihenfolge zählt → Permutation. Aus 10 Läufern den 1. / 2. / 3. Platz auswählen.
• Nein, die Reihenfolge zählt nicht → Kombination. Aus 20 Personen ein 5-köpfiges Komitee auswählen.

Dieselben 10 Kandidaten können je nachdem, ob die Rollen unterscheidbar sind, verschiedene Antworten ergeben.

Die Formeln

Für $n$ Objekte, $r$ wählen:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Beachten Sie, dass die Kombination die Permutation geteilt durch $r!$ ist — dieses $r!$ entfernt die Anordnungen der gewählten Objekte, da Kombinationen die Reihenfolge nicht beachten.

Durchgerechnete Beispiele

Permutation: Siegerpodest

Zehn Läufer, drei Medaillenplätze (Gold, Silber, Bronze). Die Reihenfolge zählt — Gold ≠ Silber.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Kombination: Lottozahlen

Wählen Sie 6 Zahlen aus 49 — die Reihenfolge auf Ihrem Schein zählt nicht.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Gleiche Zahlen, andere Antwort

Wählen Sie 3 Buchstaben aus {A, B, C, D}.

• Als Permutation (3-Buchstaben-Passwörter): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... alle verschieden.
• Als Kombination (nur 3 Buchstaben auswählen): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

Der Faktor $3! = 6$ zwischen ihnen ist genau das $r!$ in der Formel.

Entscheidungs-Abkürzung

Im Zweifel fragen Sie: "Wenn ich zwei meiner gewählten Objekte vertausche, ist das Ergebnis anders?"

• Ja → Permutation
• Nein → Kombination

Einen Kapitän und Vizekapitän wählen → Vertauschen ändert, wer Kapitän ist → Permutation.
2 Personen für ein Duo wählen → Vertauschen ergibt dasselbe Duo → Kombination.

Häufige Fehler

• Beide vermischen, wenn Wahrscheinlichkeit im Spiel ist. Nenner (Gesamtzahl der Ergebnisse) und Zähler (günstige Ergebnisse) müssen dieselbe Zählmethode verwenden.
• Den Teiler $r!$ vergessen. Berechnen Sie Permutationen, obwohl Sie Kombinationen wollten, zählen Sie um den Faktor $r!$ zu viel.
• Unterscheidbare vs. ununterscheidbare Objekte. Sind manche Objekte identisch (z. B. 5 rote und 3 blaue Kugeln), gilt keine einfache Formel — Sie brauchen den Multinomialkoeffizienten $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

Probieren Sie es selbst

Verwenden Sie unseren Wahrscheinlichkeitsrechner, um Permutationen und Kombinationen zu berechnen und sie auf reale Wahrscheinlichkeitsaufgaben anzuwenden, während die KI Sie durch jeden Schritt führt.