Wahrscheinlichkeitsrechner

Die Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt. Sie wird als Zahl zwischen $0$ und $1$ ausgedrückt (oder gleichwertig $0\%$ bis $100\%$).

$P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse}}$

Wichtige Konzepte

• Ergebnisraum $S$: die Menge aller möglichen Ergebnisse
• Ereignis $A$: eine Teilmenge des Ergebnisraums
• Komplement $A'$: das Ereignis, dass $A$ NICHT eintritt; $P(A') = 1 - P(A)$

Arten der Wahrscheinlichkeit

• Theoretische Wahrscheinlichkeit: Basiert auf Überlegungen zu gleich wahrscheinlichen Ergebnissen (z. B. hat eine faire Münze $P(\text{Kopf}) = \frac{1}{2}$)
• Empirische Wahrscheinlichkeit: Basiert auf beobachteten Häufigkeiten aus Experimenten
• Subjektive Wahrscheinlichkeit: Basiert auf persönlicher Einschätzung oder Fachwissen

Wahrscheinlichkeitsregeln

• $0 \le P(A) \le 1$ für jedes Ereignis $A$
• $P(S) = 1$ (irgendetwas muss eintreten)
• $P(\emptyset) = 0$ (unmögliches Ereignis)

Grundwahrscheinlichkeit

Für gleich wahrscheinliche Ergebnisse:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{Gesamtergebnisse}}$

Additionsregel (ODER)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ oder Ereignis $B$ eintritt:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Wenn $A$ und $B$ disjunkt sind (nicht zusammen eintreten können):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Multiplikationsregel (UND)

Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ und Ereignis $B$ beide eintreten:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Wenn $A$ und $B$ unabhängig sind:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Binomialwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit von genau $k$ Erfolgen in $n$ unabhängigen Versuchen, jeweils mit Wahrscheinlichkeit $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

wobei $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Übersichtstabelle

• Annehmen, dass Ereignisse unabhängig sind, wenn sie es nicht sind — Karten ohne Zurücklegen zu ziehen ändert die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Zug.
• Vergessen, die Überschneidung in der Additionsregel zu subtrahieren — wenn Ereignisse zusammen eintreten können, musst du $P(A \cap B)$ subtrahieren, um Doppelzählung zu vermeiden.
• "und" mit "oder" verwechseln — "und" bedeutet, dass beide Ereignisse eintreten (multipliziere Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen); "oder" bedeutet, dass mindestens eines eintritt (addiere Wahrscheinlichkeiten).
• Nicht alle möglichen Ergebnisse im Ergebnisraum berücksichtigen — stelle sicher, dass du die Gesamtzahl korrekt zählst, besonders bei Kombinationen und Permutationen.
• Die Richtung der bedingten Wahrscheinlichkeit verwechseln — $P(A|B)$ ist nicht dasselbe wie $P(B|A)$.