حاسبة الدرجة المعيارية

الدرجة المعيارية (وتُسمى أيضًا الدرجة القياسية) تقيس عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها قيمة عن المتوسط:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

حيث $x$ هي القيمة الخام، $\mu$ هو متوسط المجتمع، و $\sigma$ هو الانحراف المعياري للمجتمع.

التفسير:

• $z = 0$: القيمة تساوي المتوسط.
• $z = 1$: انحراف معياري واحد فوق المتوسط.
• $z = -2$: انحرافان معياريان تحت المتوسط.
• $|z| > 2$ اصطلاحًا 'غير معتاد'؛ $|z| > 3$ 'متطرف'.

لماذا التعيير؟

• القابلية للمقارنة: تتيح الدرجات المعيارية مقارنة قيم من توزيعات مختلفة (مثلًا، $z = 1.5$ في اختبار رياضيات SAT مقابل $z = 1.5$ في اختبار لفظي يعني نفس الأداء النسبي).
• البحث عن الاحتمال: إذا كان التوزيع الأساسي تقريبًا طبيعيًا، يرتبط $z$ مباشرةً باحتمال عبر دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري $\Phi(z)$.
• كشف القيم المتطرفة: $|z|$ الكبيرة تشير إلى قيم متطرفة محتملة.

نسخة العينة: عند العمل من بيانات عينة، استبدل $\mu$ بـ $\bar{x}$ و $\sigma$ بـ $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

خطوة بخطوة

1. حدّد القيمة $x$، والمتوسط $\mu$ (أو $\bar{x}$)، والانحراف المعياري $\sigma$ (أو $s$).
2. اطرح المتوسط: $x - \mu$.
3. اقسم على الانحراف المعياري: $z = (x - \mu)/\sigma$.

العكس: إيجاد $x$ من $z$

$x = \mu + z\sigma$

مفيد عند إعطاء مئين والمطالبة بالقيمة الخام المقابلة.

الاحتمال عبر الطبيعي المعياري

بالنسبة لمتغير موزع طبيعيًا $X \sim N(\mu, \sigma^2)$، المتغير المعيّر $Z = (X - \mu)/\sigma$ يتبع الطبيعي المعياري $N(0, 1)$.

الاحتمالات الشائعة:

التناظر: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

القاعدة التجريبية (68-95-99.7)

بالنسبة لتوزيع طبيعي:

• حوالي 68% من القيم تقع ضمن $\pm 1\sigma$ من المتوسط.
• حوالي 95% ضمن $\pm 2\sigma$.
• حوالي 99.7% ضمن $\pm 3\sigma$.

هذا هو أساس فترات الثقة والعديد من التقديرات السريعة.

قيم z الحرجة لفترات الثقة

هذه هي القيم $z^*$ بحيث $P(-z^* < Z < z^*) =$ مستوى الثقة.

• ترتيب خاطئ: $z = (x - \mu)/\sigma$، وليس $(\mu - x)/\sigma$. وضع المتوسط ثانيًا يقلب الإشارة.
• استخدام التباين بدلًا من الانحراف المعياري: اقسم على $\sigma$، وليس $\sigma^2$. قيمة 'تباين واحد بعيدًا' لا معنى لها — تريد انحرافًا معياريًا واحدًا.
• العينة مقابل المجتمع: مع بيانات العينة، استخدم $\bar{x}$ و $s$. مع المعالم المعروفة، استخدم $\mu$ و $\sigma$. خلطهما يضخّم/يقلّص الدرجات المعيارية.
• افتراض الطبيعية دون تحقق: يمكن حساب الدرجات المعيارية لأي توزيع، لكن البحث عن الاحتمال $\Phi(z)$ ينطبق فقط إذا كان التوزيع الأساسي طبيعيًا (أو تقريبًا كذلك بنظرية النهاية المركزية).
• نسيان الإشارة: $z = -2$ تعني 'تحت المتوسط'. الإبلاغ عن $z = 2$ يحرّف الاتجاه.
• الخلط بين الاحتمالات أحادية وثنائية الذيل: $P(|Z| > 2)$ هو كلا الذيلين مجتمعين ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ هو ذيل واحد ($\approx 0.0228$). اقرأ السؤال بعناية.