حاسبة فترة الثقة

فترة الثقة (CI) هي مدى من القيم المعقولة لمعلمة مجتمع مجهولة، تُبنى من بيانات العينة. فترة ثقة 95% تعني: إذا كررت إجراء أخذ العينات عدة مرات، فإن حوالي 95% من الفترات المبنية ستحتوي على المعلمة الحقيقية.

مهم: تشير الـ 95% إلى الإجراء، وليس إلى أي فترة محسوبة فردية. بمجرد بناء فترة من البيانات، فإنها إما تحتوي على المعلمة الحقيقية أو لا تحتويها — لكننا لا نعرف أيهما.

البنية الأساسية: كل فترة ثقة لها الصورة

$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$

التقدير هو إحصائية العينة ($\bar{x}$ أو $\hat{p}$). هامش الخطأ هو قيمة حرجة مضروبة في الخطأ المعياري للتقدير.

تظهر فترات الثقة في:

• استطلاعات الانتخابات ('دعم 52%، هامش خطأ $\pm 3\%$')
• الدراسات الطبية (فترات ثقة حجم الأثر)
• ضبط الجودة (متوسط معدلات العيوب)
• في أي وقت تريد فيه قياس عدم اليقين في تقدير، وليس مجرد الإبلاغ عن قيمة نقطية.

فترة الثقة لمتوسط مجتمع (فترة Z)

عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع $\sigma$ معروفًا وتوزيع المعاينة تقريبًا طبيعي ($n$ كبيرة أو مجتمع طبيعي):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

حيث $z^*$ هي القيمة الحرجة لمستوى الثقة المختار.

فترة الثقة لمتوسط مجتمع (فترة T)

عندما يكون $\sigma$ مجهولًا (لديك فقط $s$، الانحراف المعياري للعينة) — أكثر شيوعًا في الممارسة:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

القيمة الحرجة $t^*$ تأتي من توزيع t بـ $n - 1$ درجة حرية. لـ $n$ كبيرة ($\geq 30$)، $t^* \approx z^*$ والفترتان متشابهتان جدًا.

فترة الثقة لنسبة مجتمع

بالنسبة لنسبة عينة $\hat{p} = x/n$ (حيث $x$ عدد النجاحات):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

صحيحة عندما $n\hat{p} \geq 10$ و $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (شرط النجاح-الفشل).

القيم الحرجة

هامش الخطأ

$\text{ME} = (\text{critical value}) \times (\text{standard error})$

زيادة حجم العينة $n$ تقلل الخطأ المعياري (وبالتالي هامش الخطأ) بعامل $\sqrt{n}$. مضاعفة $n$ أربع مرات تنصّف هامش الخطأ.

اختيار مستوى الثقة

• ثقة أعلى = فترة أوسع. فترة ثقة 99% أوسع من 95%، التي أوسع من 90%.
• 95% هي الافتراضي في معظم السياقات الأكاديمية والمهنية.
• 99% عندما تكون المخاطر أعلى (طبية، أمان)؛ 90% عندما يهم تقدير نقطي أضيق أكثر من التغطية.

• سوء تفسير الـ 95%: 'هناك احتمال 95% أن المتوسط الحقيقي في هذه الفترة' خاطئ (تكراري). العبارة الصحيحة عن الإجراء: 95% من الفترات المبنية بشكل مماثل تحتوي على المعلمة الحقيقية.
• استخدام z عندما يكون t مناسبًا: مع $\sigma$ مجهول، استخدم $t^*$. استخدام $z^*$ يقلل من تقدير عدم اليقين، خاصةً لـ $n$ صغيرة.
• نسيان $\sqrt{n}$ في الخطأ المعياري: $\sigma/\sqrt{n}$، وليس $\sigma/n$.
• اتجاه قيمة حرجة خاطئ: $z^* = 1.96$ لـ 95% (ثنائي الذيل)، وليس المئين الـ 95 $z = 1.645$. القيمة الحرجة ثنائية الذيل تقتطع $\alpha/2$ في كل ذيل.
• تخطي شرط النجاح-الفشل للنسب: إذا كان $n\hat{p}$ أو $n(1-\hat{p}) < 10$، يفشل التقريب الطبيعي — استخدم فترة دقيقة (كلوبر-بيرسون) أو مبنية على النقاط.
• خلط فترة الثقة بفترة التنبؤ: فترة ثقة 95% تقدّر المتوسط بتغطية 95%. فترة التنبؤ تقدّر مشاهدة مستقبلية واحدة — أوسع بكثير.