AI Math
افتح التطبيق

حاسبة التكامل الثلاثي

حساب التكاملات الثلاثية في الإحداثيات المستطيلة أو الأسطوانية أو الكروية مع حلول خطوة بخطوة مدعومة بالذكاء الاصطناعي
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

ما هو التكامل الثلاثي؟

التكامل الثلاثي يوسّع مفهوم التكاملات الأحادية والثنائية إلى ثلاثة أبعاد. بالنسبة لدالة f(x,y,z)f(x, y, z) معرّفة على منطقة مصمتة E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

يعطي إجمالي تراكم ff على EE. يصبح عنصر الحجم المتناهي في الصغر dVdV هو dx dy dzdx\,dy\,dz في الإحداثيات الكارتيزية، لكن يمكن إعادة كتابته اعتمادًا على هندسة EE.

المعاني الفيزيائية الشائعة:

  • إذا كان f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1، يعطي التكامل حجم EE.
  • إذا كان f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) كثافة، يعطي الكتلة الكلية.
  • العزوم ومراكز الكتلة وعزوم القصور الذاتي كلها تكاملات ثلاثية لدوال كثافة موزونة.

مفتاح حساب التكامل الثلاثي هو اختيار نظام الإحداثيات الصحيح وإعداد الحدود بشكل صحيح.

كيفية إعداد وحساب التكاملات الثلاثية

الخطوة 1: اختر الإحداثيات

هندسة المنطقةأفضل الإحداثياتعنصر الحجم
صندوق / عامةمستطيلة (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
تناظر أسطوانيأسطوانية (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
تناظر كرويكروية (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

الخطوة 2: أعدّ الحدود

اسقط المنطقة على مستوى إحداثي لتحديد ترتيب التكامل. بالنسبة للمصمت من النوع I المحدود من أعلى بـ z=g2(x,y)z = g_2(x,y) ومن أسفل بـ z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

الخطوة 3: احسب تكراريًا

كامل الأعمق أولًا، معاملًا المتغيرات الخارجية كثوابت. ثم تابع للخارج.

الإحداثيات الأسطوانية

استخدم التعويضات x=rcos⁡θx = r\cos\theta، y=rsin⁡θy = r\sin\theta، z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

عامل rr الإضافي يأتي من محدد اليعقوبي.

الإحداثيات الكروية

استخدم x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta، y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta، z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

اليعقوبي ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi حاسم — نسيانه هو الخطأ الأكثر شيوعًا على الإطلاق.

أخطاء شائعة يجب تجنبها

  • نسيان اليعقوبي: الأسطوانية تحصل على عامل rr، والكروية تحصل على ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. تخطي هذا يعطي إجابة خاطئة في كل مرة.
  • ترتيب حدود خاطئ: قد تعتمد الحدود الأعمق على المتغيرات الخارجية، لكن الحدود الأكثر خارجية يجب أن تكون ثوابت. عكس هذا يولّد هراءً.
  • أخطاء الإشارة مع sin⁡φ\sin\varphi: في الكروية، φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (إذًا sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). استخدام φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] خاطئ.
  • خلط الاصطلاحات: بعض الكتب تستخدم φ\varphi للزاوية القطبية (من المحور z)، وأخرى للزاوية السمتية. كن متسقًا مع اصطلاح واحد.
  • عدم رسم المنطقة: بالنسبة للمصمتات غير البسيطة، رسم سريع ينقذك من حدود مستحيلة.

Examples

Step 1: أعدّ التكامل المتكرر: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: كامل بالنسبة لـ zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: كامل بالنسبة لـ yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: كامل بالنسبة لـ xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: في الكروية: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1، 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi، 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: الحجم = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: الداخلي: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: الأوسط: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: الخارجي: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: الحاصل: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: بدّل إلى الأسطوانية: 0≤r≤10 \leq r \leq 1، 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi، 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: التكامل = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: الداخلي: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: الأوسط: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: الخارجي: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

استخدم الأسطوانية عندما يكون للمنطقة تناظر دوراني حول المحور z لكن دون بنية شعاعية خاصة (أسطوانات، مجسمات مكافئة، مخروطات فوق/تحت قرص). استخدم الكروية عندما تكون المنطقة محدودة بكرات أو مخروطات من نقطة الأصل، أو لها تناظر شعاعي ثلاثي الأبعاد كامل (كرات، قشور كروية).

اليعقوبي هو المحدد الذي يضبط عنصر الحجم عند تغيير الإحداثيات. في الأسطوانية يساوي r، وفي الكروية يساوي ρ² sin φ. بدونه، يقيس التكامل الحجم الخاطئ.

انظر إلى المنطقة: كامل المتغير ذا الحدود المعتمدة على غيره (الأعمق) أولًا، ثم تحرك للخارج. المتغير الأكثر خارجية يجب أن يكون له حدود ثابتة. إذا أدى ترتيب إلى حدود قبيحة، بدّل الترتيب باستخدام رسم للمنطقة.

نعم، إذا كان بإمكان الدالة أن تكون سالبة. بالنسبة لحسابات الحجم تكون الدالة 1 والإجابة دائمًا موجبة. بالنسبة للكميات الفيزيائية مثل التدفق ذي الإشارة أو القوة الصافية، تكون القيم السالبة ممكنة وذات معنى.

Related Solvers

حاسبة التكاملحاسبة المشتقاتحاسبة المتسلسلات

Related Guides

Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving