AI Math
افتح التطبيق

حاسبة المتسلسلات

تحليل التقارب وحساب المجاميع وتوسيع متسلسلات تايلور/ماكلورين مع حلول خطوة بخطوة

اسحب وأفلت أو انقر لإضافة صور أو ملف PDF

∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

ما هي المتسلسلة؟

المتسلسلة هي مجموع حدود متتالية. تأخذ المتسلسلة اللانهائية الصورة:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

المجاميع الجزئية هي SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. إذا تقاربت متتالية المجاميع الجزئية إلى نهاية منتهية SS، نقول إن المتسلسلة تتقارب و ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S. وإلا، فإن المتسلسلة تتباعد.

المتسلسلة الهندسية: المتسلسلة ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n تتقارب إلى a1−r\frac{a}{1-r} عندما ∣r∣<1|r| < 1.

متسلسلة p: المتسلسلة ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} تتقارب عندما p>1p > 1 وتتباعد عندما p≤1p \leq 1.

متسلسلة القوى: متسلسلة على الصورة ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n تمثّل دالة ضمن نصف قطر تقاربها.

متسلسلة تايلور: توسع متسلسلة القوى لـ f(x)f(x) حول x=ax = a:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

عندما a=0a = 0، تُسمى هذه متسلسلة ماكلورين.

كيفية تحديد التقارب

اختبار التباعد (اختبار الحد النوني)

إذا كان lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0، تتباعد المتسلسلة. لاحظ: إذا كانت النهاية 0، فالاختبار غير حاسم.

اختبار النسبة

احسب L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:

  • إذا كان L<1L < 1: تتقارب تقاربًا مطلقًا
  • إذا كان L>1L > 1: تتباعد
  • إذا كان L=1L = 1: غير حاسم

اختبار الجذر

احسب L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. نفس قواعد الاستنتاج كاختبار النسبة.

اختبار التكامل

إذا كان f(n)=anf(n) = a_n حيث ff موجبة ومتصلة ومتناقصة لـ x≥1x \geq 1:
∑n=1∞an converges  ⟺  ∫1∞f(x) dx converges\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converges} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ converges}

اختبار المقارنة

إذا كان 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n لكل nn:

  • إذا تقاربت ∑bn\sum b_n، فإن ∑an\sum a_n تتقارب
  • إذا تباعدت ∑an\sum a_n، فإن ∑bn\sum b_n تتباعد

اختبار المتسلسلة المتناوبة (اختبار لايبنتز)

المتسلسلة المتناوبة ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n تتقارب إذا:

  1. bn>0b_n > 0 لكل nn
  2. bnb_n متناقصة
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

متسلسلات تايلور/ماكلورين الشائعة

الدالةمتسلسلة ماكلوريننصف القطر
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

اختيار الاختبار المناسب

الاختبارالأفضل لـالمؤشر الأساسي
التباعدالاستبعاد السريعالحدود لا تقترب من 0 بوضوح
النسبةالمضروبات والأسياتn!n! أو rnr^n في الحدود
الجذرالقوى النونيةan=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
التكاملدوال متناقصة بسيطةan=f(n)a_n = f(n) يُكامل بسهولة
المقارنةحدود تشبه متسلسلات معروفةتبدو كمتسلسلة p أو هندسية
المتناوبةمتسلسلات متناوبة الإشارةعامل (−1)n(-1)^n

أخطاء شائعة يجب تجنبها

  • سوء استخدام اختبار التباعد: إذا كان lim⁡an=0\lim a_n = 0، فهذا لا يثبت التقارب. المتسلسلة التوافقية ∑1/n\sum 1/n تتباعد رغم أن 1/n→01/n \to 0.
  • تطبيق اختبار النسبة عندما L = 1: عندما تساوي نهاية النسبة 1، لا يعطي الاختبار أي معلومات. يجب أن تستخدم اختبارًا مختلفًا.
  • الخلط بين التقارب المطلق والمشروط: يمكن أن تتقارب متسلسلة تقاربًا مشروطًا (مثل المتسلسلة التوافقية المتناوبة) دون أن تتقارب تقاربًا مطلقًا.
  • نصف قطر تقارب خاطئ: لا تنسَ التحقق من نقاط النهاية بشكل منفصل عند إيجاد فترة التقارب.
  • باقي متسلسلة تايلور: كثير حدود تايلور هو تقريب فقط؛ بالنسبة لعدد منتهٍ من الحدود، يوجد حد باقٍ يهم حده للدقة.

Examples

Step 1: طبّق اختبار النسبة: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1، إذًا المتسلسلة تتقارب
Step 3: لإيجاد المجموع، استخدم الصيغة ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} مع x=12x = \frac{1}{2}: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: ابدأ بالمتسلسلة الهندسية: 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n لـ ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: عوّض t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: بسّط: ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots لـ ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}، صحيحة لـ ∣x∣<1|x| < 1

Step 1: هذه متسلسلة متناوبة بـ bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: تحقق: bn>0b_n > 0 ✓، bnb_n متناقصة ✓، lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: باختبار المتسلسلة المتناوبة، تتقارب المتسلسلة (تقاربًا مشروطًا، لأن ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} تتباعد كمتسلسلة p بـ p=1/2<1p = 1/2 < 1)
Answer: المتسلسلة تتقارب تقاربًا مشروطًا

Frequently Asked Questions

تتقارب المتسلسلة إذا اقتربت مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ كلما أضفت المزيد من الحدود. تتباعد المتسلسلة إذا نمت المجاميع الجزئية بلا حدود أو تذبذبت دون الاستقرار على قيمة.

تُستخدم متسلسلات تايلور لتقريب الدوال المعقدة بكثيرات حدود، مما يجعلها أسهل في الحساب أو الاشتقاق أو التكامل. وهي أساسية في الفيزياء والهندسة والتحليل العددي لتقريب الدوال بالقرب من نقطة معينة.

نصف قطر التقارب R هو المسافة من مركز متسلسلة قوى التي تتقارب ضمنها المتسلسلة. لـ |x - a| < R تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا، ولـ |x - a| > R تتباعد، وعند |x - a| = R يجب التحقق من نقاط النهاية بشكل فردي.

لا. المتسلسلة التوافقية، وهي مجموع 1/n من n=1 إلى ما لا نهاية، تتباعد. رغم أن الحدود تقترب من الصفر، فإنها لا تتناقص بسرعة كافية ليبقى المجموع منتهيًا. هذا مثال كلاسيكي يبيّن أن اقتراب الحدود من الصفر ضروري لكنه غير كافٍ للتقارب.

Related Solvers

حاسبة المشتقاتحاسبة التكاملحاسبة النهاياتحلّال المعادلات التفاضلية
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving