حاسبة متسلسلة تايلور

متسلسلة تايلور تمثّل دالة ككثير حدود لانهائي مبني من مشتقات الدالة عند نقطة واحدة $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

عندما $a = 0$، تُسمى المتسلسلة متسلسلة ماكلورين:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

لماذا هذا مهم: تحوّل متسلسلات تايلور الحسابات على دوال قد تكون صعبة ($\sin x$، $e^x$، $\ln x$، $\sqrt{1 + x}$) إلى حسابات على كثيرات حدود، يمكن للحواسيب والبشر التعامل معها. وهي أساس الطرق العددية والتوسعات المقاربة ونظرية التقريب.

كثير حدود تايلور من الدرجة $n$ هو المجموع الجزئي محتفظًا بالحدود حتى $(x-a)^n$. إنه أفضل تقريب كثير حدود لـ $f$ بالقرب من $a$ بمعنى دقيق (يطابق القيمة وأول $n$ مشتقة).

الخطوة 1: احسب المشتقات عند نقطة التوسيع

بالنسبة لـ $f(x)$ ونقطة التوسيع $a$، احسب $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

الخطوة 2: عوّض في الصيغة

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

متسلسلات ماكلورين الشائعة الواجب حفظها

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

نصف قطر التقارب

تتقارب متسلسلة تايلور فقط ضمن نصف قطر تقارب $R$ حول $a$. أوجده باستخدام اختبار النسبة:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

خارج هذا النصف القطر، تتباعد المتسلسلة ولا تمثّل الدالة. بالداخل، يكون التقارب عادةً منتظمًا على المجموعات الجزئية المتراصة.

التعامل مع المتسلسلات المعروفة

للسرعة، عوّض أو اشتق أو كامل المتسلسلات المعروفة بدلًا من حساب المشتقات من الصفر:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (عوّض $-x^2$ في $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• نسيان المضروب: الحد النوني به $\frac{1}{n!}$، وليس المشتقة فقط. تخطي هذا يعطي إجابة خاطئة بشدة.
• استخدام المتسلسلة خارج نصف قطر تقاربها: $\frac{1}{1-x}$ لا يساوي $\sum x^n$ عندما $|x| > 1$ — المتسلسلة تتباعد هناك.
• نسيان التمركز عند $a$: متسلسلة تايلور حول $a$ تستخدم قوى $(x-a)$، وليس $x$.
• الخلط بين الدرجة وعدد الحدود: كثير حدود تايلور من الدرجة $n$ له $n+1$ حدًا (الدرجات من $0$ إلى $n$).
• أخطاء إشارة التعويض: $\sin(-x) = -\sin(x)$، إذًا متسلسلة $\sin(-x)$ لها إشارات متناوبة مقلوبة مقارنة بـ $\sin(x)$.