حلّال المعادلات التفاضلية

المعادلة التفاضلية (DE) هي معادلة تربط دالة بمشتقاتها. المعادلة التفاضلية العادية (ODE) تتضمن دالة بمتغير واحد:

$F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0$

رتبة المعادلة التفاضلية هي أعلى مشتقة تظهر فيها. الدرجة هي قوة المشتقة الأعلى رتبة (عندما تكون المعادلة كثيرة حدود في المشتقات).

معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى: $y' = f(x, y)$

معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية: $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$

الحل هو دالة $y(x)$ تحقق المعادلة على فترة ما. الحل العام يحتوي على ثوابت اختيارية (واحد لكل رتبة). مسألة القيمة الابتدائية (IVP) تحدد شروطًا مثل $y(x_0) = y_0$ لتعيين حل خاص وحيد.

المعادلات التفاضلية تنمذج الظواهر الواقعية: نمو السكان، والاضمحلال الإشعاعي، وأنظمة الكتلة والنابض، والدوائر الكهربائية، والتوصيل الحراري، وتدفق الموائع.

الطريقة 1: فصل المتغيرات

بالنسبة للمعادلات على الصورة $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$:

1. افصل: $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
2. كامل الطرفين: $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

مثال: $\frac{dy}{dx} = 2xy$ → $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ → $\ln|y| = x^2 + C$ → $y = Ae^{x^2}$

الطريقة 2: عامل التكامل (خطية من الرتبة الأولى)

بالنسبة لـ $y' + P(x)y = Q(x)$، اضرب في عامل التكامل $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$:

$\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)$

ثم كامل الطرفين لإيجاد $y$.

مثال: $y' + 2y = e^{-x}$. هنا $P(x) = 2$، إذًا $\mu = e^{2x}$. اضرب: $(e^{2x}y)' = e^{x}$. كامل: $e^{2x}y = e^x + C$، إذًا $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

الطريقة 3: المعادلة المميِّزة (المعاملات الثابتة)

بالنسبة لـ $ay'' + by' + cy = 0$، حل المعادلة المميِّزة $ar^2 + br + c = 0$:

الطريقة 4: المعاملات غير المحددة

بالنسبة لـ $ay'' + by' + cy = g(x)$ حيث $g(x)$ كثير حدود أو أسي أو جيب أو جيب تمام أو تركيب:

1. أوجد الحل العام للمعادلة المتجانسة
2. خمّن صورة حل خاص بناءً على $g(x)$
3. عوّض وحل بالنسبة للمعاملات
4. الحل العام = المتجانس + الخاص

الطريقة 5: تغيير المعالم

طريقة عامة لـ $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$ عندما تكون الحلول المتجانسة $y_1, y_2$ معروفة:

$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx$

حيث $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ هو الرونسكيان.

مقارنة الطرق

• نسيان ثابت التكامل: في فصل المتغيرات، يجب تضمين الثابت قبل الحل بالنسبة لـ $y$، لأنه يؤثر على الصورة النهائية للحل.
• عامل تكامل غير صحيح: عامل التكامل لـ $y' + P(x)y = Q(x)$ هو $e^{\int P(x)\,dx}$. تأكد من أن المعادلة بالصورة القياسية (معامل $y'$ يجب أن يكون 1) قبل تحديد $P(x)$.
• إغفال حالة الجذر المكرر: عندما يكون للمعادلة المميِّزة جذر مكرر $r$، يكون الحل الثاني $xe^{rx}$، وليس $e^{rx}$ مرة أخرى فقط.
• تخمين حل خاص خاطئ: إذا كان تخمينك لـ $y_p$ هو بالفعل حل للمعادلة المتجانسة، اضرب في $x$ (أو $x^2$ إذا لزم) للحصول على صورة صحيحة.
• تجاهل الشروط الابتدائية: الحل العام له ثوابت اختيارية. طبّق الشروط الابتدائية فقط بعد إيجاد الحل العام الكامل.