حاسبة تحويل لابلاس

تحويل لابلاس يحوّل دالة في الزمن $f(t)$ إلى دالة في التردد المركب $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

يُعرّف التحويل لـ $s$ في نصف مستوى أيمن ما $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ حيث يتقارب التكامل.

لماذا هذا مفيد: يحوّل لابلاس الاشتقاق إلى ضرب في $s$، محولًا المعادلات التفاضلية العادية الخطية ذات المعاملات الثابتة إلى معادلات جبرية في $s$. تحل الجبر، ثم تأخذ تحويل لابلاس العكسي للحصول على الإجابة في مجال الزمن.

كما تتعامل تحويلات لابلاس مع المدخلات غير المتصلة والاندفاعية (دوال الخطوة، ودالة ديراك دلتا) بأناقة، مما يجعلها لا غنى عنها في نظرية التحكم ومعالجة الإشارات والهندسة الكهربائية.

أزواج التحويل الأساسية

احفظ الجدول الأساسي:

الخصائص الأساسية

الخطية:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

الإزاحة الأولى (إزاحة s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

هكذا يصبح $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

الاشتقاق في مجال $t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

هذا ما يحوّل المعادلات التفاضلية العادية إلى جبر: تصبح المشتقات كثيرات حدود في $s$ مضروبة في $F(s)$، مع تضمين الشروط الابتدائية.

الضرب في $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

تحويل لابلاس العكسي

بالنظر إلى $F(s)$، أوجد $f(t)$ بحيث $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. التقنيات القياسية:

1. الكسور الجزئية: فكّك $F(s)$ إلى أجزاء نسبية بسيطة تطابق الجدول.
2. إكمال المربع: لأشكال $\frac{1}{s^2 + bs + c}$، أعد الكتابة على صورة $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ لمطابقة مدخل جدول الجيب المُزاح.
3. ابحث وادمج باستخدام الخطية.

حل المعادلات التفاضلية العادية بلابلاس

بالنسبة لـ $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$، $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. طبّق لابلاس: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. حل بالنسبة لـ $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$، إذًا $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (بعد التبسيط).
3. اعكس: $y(t) = t e^{-t}$.

نظيف وميكانيكي — المسألة نفسها بتغيير المعالم تأخذ ضعف العمل.

• نسيان الشروط الابتدائية: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. تخطي $f(0)$ هو الخطأ الأكثر شيوعًا على الإطلاق.
• إشارة خاطئة في إزاحة s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$، وليس $F(s + a)$. الإشارة مهمة.
• سوء التعامل مع عدم الاتصال: للمدخلات الخطوة، استخدم دالة الخطوة الوحدوية $u(t-a)$ ونظرية الإزاحة الزمنية $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• التحويل العكسي دون كسور جزئية: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ لا يُعكس مباشرة — فكّك أولًا.
• الخلط بين $F(s)$ و $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ هو التحويل، $f(t)$ هي الأصلية. أنهِ دائمًا مسائل المعادلات التفاضلية بالعودة إلى مجال الزمن.