التكامل المحدّد مقابل غير المحدّد

يستخدم كلٌّ من التكامل المحدّد وغير المحدّد تقنيات التكامل نفسها (التعويض، بالتجزئة، الكسور الجزئية)، لكنهما يجيبان عن أسئلة مختلفة جذريًا ويُنتجان أشياء مختلفة جذريًا.

ما هو كلٌّ منهما

التكامل غير المحدّد $\int f(x) \, dx$ — يُنتج دالة، أي عائلة الدوال الأصلية:

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

حيث $F'(x) = f(x)$. الـ "+C" يذكّرك بوجود عدد لا نهائي من الدوال الأصلية (أي إزاحة رأسية تصلح).

التكامل المحدّد $\int_a^b f(x) \, dx$ — يُنتج عددًا، أي المساحة ذات الإشارة بين المنحنى $y = f(x)$ ومحور السينات على الفترة $[a, b]$:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

(المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل.)

أبرز الفروق بنظرة سريعة

الجانب	غير محدّد	محدّد
الناتج	دالة $F(x) + C$	عدد
الحدود	لا يوجد	$a$ (الأدنى) و $b$ (الأعلى)
"+C" مطلوب	نعم	لا (يُلغى في الطرح)
المعنى الهندسي	عائلة الدوال الأصلية	مساحة ذات إشارة

مثال محلول

احسب كليهما لـ $f(x) = 2x$.

غير محدّد: $\int 2x \, dx = x^2 + C$.

محدّد من 0 إلى 3: $\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.

العدد 9 هو مساحة المثلث المحدّد بـ $y = 2x$ و $x = 0$ و $x = 3$ — وفعلًا هذا المثلث قاعدته 3 وارتفاعه 6، فالمساحة $= \frac{1}{2}(3)(6) = 9$. ✓

المساحة "ذات الإشارة" — ماذا تعني؟

عندما يكون $f(x) < 0$ على $[a, b]$، يكون التكامل المحدّد سالبًا. وهو لا يزال يمثّل مساحة (بالقيمة المطلقة)، لكن بإشارة تدل على أن المنحنى تحت المحور.

مثال: $\int_0^\pi \sin x \, dx = 2$ (فوق المحور، موجب). $\int_\pi^{2\pi} \sin x \, dx = -2$ (تحت المحور، سالب). $\int_0^{2\pi} \sin x \, dx = 0$ (يُلغى).

إن أردت المساحة غير ذات الإشارة، فكامل $|f(x)|$ — جزّئ عند نقاط تقاطع الصفر.

كيف يرتبطان: المبرهنة الأساسية

الجسر بينهما هو المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل، التي تنصّ على:

1. الاشتقاق والتكامل عمليتان عكسيتان.
2. يمكن حساب التكاملات المحدّدة بإيجاد أي دالة أصلية (أي تكامل غير محدّد) وتقييمها عند الطرفين.

لهذا فإن إتقان التكاملات غير المحدّدة شرط مسبق لحساب التكاملات المحدّدة.

أخطاء شائعة

• نسيان "+C" في التكاملات غير المحدّدة — نصف درجة في معظم الواجبات.
• إضافة "+C" في التكاملات المحدّدة — يُلغى في $F(b) - F(a)$ وإضافته تدل على ارتباك.
• تعويض الحدود قبل التكامل عند استخدام تعويض u مع التكاملات المحدّدة — حوّل الحدود إلى المتغيّر الجديد، أو ارجع إلى $x$ أولًا. كلاهما يصلح، لكن خلطهما يسبّب أخطاء.

جرّب كليهما باستخدام حلّالنا

ضع أي تكامل في حاسبة التكامل — بدّل بين المحدّد (بحدود) وغير المحدّد. يعرض الذكاء الاصطناعي التقنيات خطوة بخطوة والتفسير الهندسي.