التكامل بالتجزئة: دليل عملي مع أمثلة

التكامل بالتجزئة هو قاعدة الضرب مطبَّقة بالعكس، وهو تقنية التكامل الأكثر استخدامًا بعد التعويض. الصيغة قصيرة، لكن اختيار أيّ جزء يكون "u" وأيّه "dv" يتحوّل إلى فن في المرة الأولى التي تراه فيها. يستعرض هذا الدليل اختصار LIATE وخمسة أمثلة متصاعدة الصعوبة، لكي تنتهي بطريقة موثوقة بدلًا من التجربة والخطأ.

الصيغة

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

تبادل تكاملًا بآخر يكون (آمل) أسهل. الفن في اختيار $u$ و $dv$ — فالاختيارات السيئة تجعل التكامل الجديد أصعب.

LIATE: قاعدة تجريبية موثوقة

عند اختيار $u$، فضّل الدوال الأسبق في هذه القائمة:

L لوغاريتمية > I مثلثية عكسية > A جبرية > T مثلثية > E أسية

ما يتبقّى يصبح $dv$. ليست LIATE مبرهنة، لكنها تعمل لنحو 90% من مسائل الكتب الدراسية.

المثال 1: $\int x e^x \, dx$ (جبري × أسي)

LIATE → الجبري قبل الأسي، إذن $u = x$، $dv = e^x \, dx$.

• $du = dx$، $v = e^x$.
• طبّق: $\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$.

المثال 2: $\int x \ln x \, dx$ (جبري × لوغاريتمي)

LIATE → اللوغاريتم أولًا: $u = \ln x$، $dv = x \, dx$.

• $du = \frac{1}{x} dx$، $v = \frac{x^2}{2}$.
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$.
• بسّط: $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.

المثال 3: $\int x^2 \sin x \, dx$ (جبري × مثلثي — طبّق مرتين)

$u = x^2$، $dv = \sin x \, dx$. ثم $du = 2x \, dx$، $v = -\cos x$.

• التمريرة الأولى: $\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$.
• التمريرة الثانية على $\int 2x \cos x \, dx$: ليكن $u = 2x$، $dv = \cos x \, dx$. ثم $du = 2 \, dx$، $v = \sin x$.
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$.
• اجمع: $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$.

عندما ترى كثير حدود من الدرجة $n$ مضروبًا في $\sin/\cos/\exp$، توقّع تطبيق القاعدة $n$ مرّات.

المثال 4: $\int e^x \cos x \, dx$ (حيلة الحلقة)

كلا العاملين مرشحان "جيدان" بالتساوي — لا يصبح أيّهما أبسط بالتكامل أو الاشتقاق. طبّق مرتين وراقب التكامل الأصلي وهو يعود، ثم حُلّ جبريًا.

• التمريرة الأولى: $u = \cos x$، $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$.
• التمريرة الثانية على التكامل الجديد: $u = \sin x$، $dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$.
• عوّض بالعودة: الأصلي $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ الأصلي.
• حُلّ: $2 \cdot \text{الأصلي} = e^x (\cos x + \sin x)$، إذن الأصلي $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$.

المثال 5: $\int \ln x \, dx$ (حالة "لا يوجد dv واضح")

يبدو أنه لا يوجد ما يُكامَل بوصفه $dv$. الحيلة: استخدم $dv = dx$ (الـ "$1$" في $\ln x \cdot 1$).

• $u = \ln x$، $dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$، $v = x$.
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$.

تعالج الحيلة نفسها $\int \arcsin x \, dx$ و $\int \arctan x \, dx$ وما شابه.

أخطاء شائعة

1. أخطاء الإشارة. تحتوي الصيغة على إشارة ناقص واحدة — استخدم ورقة مسوّدة لتتبّع $+/-$.
2. اختيار $u$ خطأً. إذا كان التكامل الجديد أصعب من الأصلي، فقد اخترت $u$ و $dv$ بالعكس. بدّلهما.
3. نسيان "+ C" في التكاملات غير المحدودة.
4. استخدام التجزئة حيث ينفع التعويض. التجزئة لحاصلات الضرب التي لا تناسب نمط تعويض-u. إذا كان $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$، استخدم التعويض.

جرّب بنفسك

أدخِل أي تكامل في حاسبة التكامل وسنُريك ما إذا كان التعويض أو التجزئة أو الكسور الجزئية هو الخطوة الصحيحة — بالإضافة إلى كل خطوة.

لأمثلة محلولة محددة ومواضيع ذات صلة:

• مثال محلول: ∫ x² dx
• مثال محلول: ∫ sin(x) dx
• شريحة مرجعية لصيغ حساب التفاضل والتكامل
• إتقان قاعدة السلسلة — القريب من جهة الاشتقاق