شرح متسلسلة تايلور: تقريب أي دالة بكثيرات الحدود

إذا كانت المشتقات تلتقط ميل الدالة عند نقطة ما، فإن متسلسلات تايلور تلتقط الدالة بأكملها عند نقطة ما — عبر تكديس عدد لا نهائي من المشتقات. إنها الجسر بين التفاضل والتكامل والحوسبة العددية: في كل مرة تحسب فيها آلتك الحاسبة $\sin(0.4)$، فهي تجمع متسلسلة تايلور خلف الكواليس.

صيغة متسلسلة تايلور

متسلسلة تايلور لدالة $f$ متمركزة عند $x = a$ هي:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

أي: احسب قيمة $f$ و$f'$ و$f''$ و$f'''$ و… عند النقطة $a$، ثم ابنِ كثير حدود حدّه $n$-ي هو $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

عندما $a = 0$، تُسمّى المتسلسلة متسلسلة ماكلورين — وهي الحالة الأكثر شيوعاً.

لماذا ينجح هذا؟

حول النقطة $a$، تبدو الدالة مثل مماسها (الحدّ $n=1$)، ثم مثل قطع مكافئ يتضمّن الانحناء (الحدّ $n=2$)، ثم تكعيبيّة، وهكذا. كل مشتقة أعلى تلتقط معلومات أدقّ عن الشكل. أضِف عدداً لا نهائياً منها، وستستعيد (للدوال "الجيّدة") الدالة $f$ بالضبط.

ثلاثة مفكوكات ماكلورين كلاسيكية

احفظ هذه الثلاثة — فهي تظهر باستمرار:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

متسلسلة الأسّ تحتوي على كل القوى؛ الجيب يحتوي على القوى الفردية فقط؛ جيب التمام يحتوي على القوى الزوجية فقط. هذا التناظر نتيجة مباشرة لأيّ المشتقات تساوي صفراً عند $0$.

مثال محلول: بناء $\sin x$ من الصفر

ليكن $f(x) = \sin x$. عند $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• يتكرّر النمط كل 4 مشتقات.

عوّض في صيغة تايلور:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
وهو ما يُبسَّط إلى $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. وهذا نفس الصيغة أعلاه.

التقريب في الممارسة

من أجل $x$ صغيرة قرب 0، حتى الحدود القليلة الأولى دقيقة للغاية:

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (القيمة الحقيقية: $0.0998334\dots$).

لهذا السبب يكون تقريب الزاوية الصغيرة $\sin x \approx x$ صحيحاً: الحدّ التالي ضئيل جداً عندما تكون $x$ صغيرة.

التقارب — متى يساوي فعلاً $f$؟

لمتسلسلات تايلور نصف قطر تقارب $R$. من أجل $|x - a| < R$ تساوي المتسلسلة $f(x)$؛ وخارجه تتباعد المتسلسلة. بعض الدوال ($e^x$ و$\sin x$ و$\cos x$) لها $R = \infty$. وأخرى، مثل $1/(1-x)$ المتمركزة عند 0، لها $R = 1$.

أخطاء شائعة

• نسيان مقامات المضروب $n!$.
• الخلط بين مفكوكات المتسلسلات — الجيب فردي، وجيب التمام زوجي، و$e^x$ يحتوي كل القوى.
• افتراض التقارب دون التحقق من نصف القطر.

جرّب مع حلّال المتسلسلات بالذكاء الاصطناعي

استخدم حاسبة المتسلسلات لحساب مفكوكات تايلور لأي دالة — فهي تعرض خطوات الاشتقاق، وكثير الحدود الناتج، وفحص تحقّق عددي.

روابط ذات صلة:

• حاسبة المشتقات — اللبنات الأساسية لكل متسلسلة تايلور
• حاسبة النهايات — التقارب مسألة نهاية
• حاسبة التكاملات — يمكن تكامل متسلسلات تايلور حدّاً بحدّ