التباديل مقابل التوافيق

يبدو التباديل والتوافيق متطابقَين تقريبًا حتى تطرح سؤالًا واحدًا: هل يهمّ الترتيب؟ أخطئ في ذلك وستكون إجابتك الاحتمالية بعيدة بمعامل $r!$ أو أكثر. إليك التمييز الواضح مع أمثلة محلولة.

السؤال الجوهري: هل يهمّ الترتيب؟

• نعم، الترتيب يهمّ → تبديل. اختيار المركز الأول / الثاني / الثالث من 10 عدّائين.
• لا، الترتيب لا يهمّ → توفيق. اختيار لجنة من 5 أشخاص من 20.

قد يعطي المرشّحون العشرة أنفسهم إجابات مختلفة تبعًا لما إذا كانت الأدوار متمايزة.

الصيغتان

لاختيار $r$ من $n$ عنصرًا:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

لاحظ أن التوفيق هو التبديل مقسومًا على $r!$ — هذا الـ $r!$ يزيل ترتيبات العناصر المختارة، لأن التوافيق لا تهتمّ بالترتيب.

أمثلة محلولة

تبديل: منصة التتويج في سباق

عشرة عدّائين، ثلاثة مراكز ميداليات (ذهب، فضة، برونز). الترتيب يهمّ — ذهب ≠ فضة.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

توفيق: أرقام اليانصيب

اختر 6 أرقام من 49 — الترتيب على تذكرتك لا يهمّ.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

الأرقام نفسها، إجابة مختلفة

اختر 3 أحرف من {A, B, C, D}.

• كتبديل (كلمات مرور من 3 أحرف): $P(4, 3) = 24$. ABC، ACB، BAC، ... كلها مختلفة.
• كتوفيق (مجرد اختيار 3 أحرف): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}، {A,B,D}، {A,C,D}، {B,C,D}.

معامل $3! = 6$ بينهما هو بالضبط الـ $r!$ في الصيغة.

اختصار القرار

عند الشك، اسأل: "إن بدّلت اثنين من العناصر المختارة، هل تختلف النتيجة؟"

• نعم → تبديل
• لا → توفيق

اختيار قائد ونائب قائد → التبديل يغيّر من هو القائد → تبديل.
اختيار شخصين لثنائي → التبديل يعطي الثنائي نفسه → توفيق.

أخطاء شائعة

• خلط الاثنين عند وجود احتمال. يجب أن يستخدم المقام (إجمالي النتائج) والبسط (النتائج المواتية) طريقة العدّ نفسها.
• نسيان المقسوم عليه $r!$. إن حسبت تباديل بينما أردت توافيق، فستعدّ زيادةً بمعامل $r!$.
• عناصر مميَّزة مقابل غير مميَّزة. إن كانت بعض العناصر متطابقة (مثلًا 5 كرات حمراء و3 زرقاء)، فلا تنطبق أي صيغة بسيطة — تحتاج معامل متعدد الحدود $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

جرّبه بنفسك

استخدم حاسبة الاحتمال لدينا لحساب التباديل والتوافيق وتطبيقها على مسائل احتمالية واقعية بينما يرشدك الذكاء الاصطناعي خطوةً بخطوة.