دليل مختصر للمتباينات: الخطية والمركّبة والقيمة المطلقة

تظهر المتباينات في التحسين، وفي تفاوتات الهندسة المسموح بها، وفي كل مسألة قيد واقعية تقريبًا ("يجب ألّا تتجاوز الميزانية…"). الآلية مشابهة لحل المعادلات، مع التواء حاسم واحد: الضرب أو القسمة على عدد سالب يقلب إشارة المتباينة. يجمع هذا الدليل كل خطوة تحتاجها في صفحة واحدة.

المتباينات الخطية

عاملها تمامًا مثل المعادلات الخطية — إلا أنك تقلب الإشارة كلما ضربت أو قسمت الطرفين على عدد سالب.

حل $-3x + 5 < 14$:

1. اطرح 5: $-3x < 9$.
2. اقسم على $-3$ واقلب: $x > -3$.

مجموعة الحل هي الفترة المفتوحة $(-3, \infty)$.

المتباينات المركّبة

تجمع المتباينة المركّبة بين متباينتين أبسط باستخدام و (تقاطع) أو أو (اتحاد).

حل $-1 \le 2x - 3 < 5$ (شطيرة "و"):

1. أضف 3 إلى الأجزاء الثلاثة كلها: $2 \le 2x < 8$.
2. اقسم على 2: $1 \le x < 4$.

الحل: $[1, 4)$.

بالنسبة لمتباينات "أو" مثل $x < -2$ أو $x \ge 5$، فإن الحل قطعتان منفصلتان: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

متباينات القيمة المطلقة

الحيلة: $|A| < k$ تُعاد كتابتها كـ $-k < A < k$، بينما $|A| > k$ تُعاد كتابتها كـ $A < -k$ أو $A > k$.

حل $|2x - 1| \le 5$:

1. أعد الكتابة: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. أضف 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. اقسم على 2: $-2 \le x \le 3$. الحل $[-2, 3]$.

المتباينات التربيعية

انقل كل شيء إلى طرف واحد، حلّل إلى عوامل، ثم اختبر الإشارة على كل فترة.

حل $x^2 - x - 6 > 0$:

1. حلّل إلى عوامل: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. الجذران يقسمان الخط إلى ثلاث فترات: $(-\infty, -2)$، و$(-2, 3)$، و$(3, \infty)$.
3. اختبر نقطة من كل فترة: عند $x = -3$ يكون الجداء موجبًا؛ وعند $x = 0$ سالبًا؛ وعند $x = 4$ موجبًا.
4. الحل: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

أخطاء شائعة

• نسيان قلب الإشارة عند القسمة على عدد سالب — أكبر خطأ منفرد.
• الخلط بين الأقواس المفتوحة والمغلقة: $<$ تستخدم الأقواس الدائرية، و$\le$ تستخدم الأقواس المربعة.
• تربيع الطرفين في $|A| < B$ بشكل أعمى: صحيح فقط عندما يكون الطرفان غير سالبين.

تحقّق باستخدام حلّال المتباينات بالذكاء الاصطناعي

اكتب أي متباينة في حلّال المتباينات وسترى قائمة الخطوات كاملة — مثالي للتحقق المزدوج من الواجب المنزلي.

مراجع ذات صلة:

• حلّال المعادلات — الجبر نفسه، نسخة المساواة
• حلّال القيمة المطلقة — لمسائل من نوع $|A| = k$
• حلّال المعادلات التربيعية — مقترن بالحالة التربيعية أعلاه