حاسبة القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي $x$، وتُكتب $|x|$، هي بُعده عن $0$ على خط الأعداد:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

الخصائص الأساسية:

• $|x| \geq 0$ لكل $x$، مع المساواة إذا وفقط إذا كان $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (الخاصية الضربية).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (متباينة المثلث).
• $|x|^2 = x^2$، إذًا $|x| = \sqrt{x^2}$.

التفسير الهندسي: $|a - b|$ هي المسافة بين العددين $a$ و $b$ على خط الأعداد. لهذا السبب تُترجم متباينات القيمة المطلقة بسلاسة إلى عبارات مسافة.

تمتد القيمة المطلقة إلى الأعداد المركبة ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) وإلى المتجهات (المعيار الإقليدي)، لكننا هنا نركز على الحالة الحقيقية المستخدمة في معظم الواجبات.

النوع 1: معادلة القيمة المطلقة

$|f(x)| = c$ حيث $c$ ثابت.

• إذا كان $c < 0$: لا يوجد حل (القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا).
• إذا كان $c = 0$: حل $f(x) = 0$.
• إذا كان $c > 0$: قسّم إلى حالتين: $f(x) = c$ أو $f(x) = -c$. حل كل حالة، واحتفظ بجميع الحلول الصحيحة.

مثال: $|2x - 3| = 7$ تنقسم إلى $2x - 3 = 7$ أو $2x - 3 = -7$، مما يعطي $x = 5$ أو $x = -2$.

النوع 2: متباينة أقل من

$|f(x)| < c$ (أو $\leq$) حيث $c > 0$.

مكافئة لـ: $-c < f(x) < c$ (متباينة مركبة، AND).

المعنى الهندسي: $f(x)$ يقع ضمن مسافة $c$ من $0$.

مثال: $|2x + 1| < 7$ تصبح $-7 < 2x + 1 < 7$، مما يعطي $-4 < x < 3$.

إذا كان $c \leq 0$، فلا يوجد حل (أو فقط $f(x) = 0$ إذا كان $c = 0$).

النوع 3: متباينة أكبر من

$|f(x)| > c$ (أو $\geq$) حيث $c \geq 0$.

مكافئة لـ: $f(x) < -c$ أو $f(x) > c$ (فصل، OR).

مثال: $|3x - 6| \geq 9$ تصبح $3x - 6 \leq -9$ أو $3x - 6 \geq 9$، مما يعطي $x \leq -1$ أو $x \geq 5$.

إذا كان $c < 0$، فإن كل عدد حقيقي يحقق المتباينة.

حالة صعبة: القيمة المطلقة على الطرفين

$|f(x)| = |g(x)|$ تنقسم إلى $f(x) = g(x)$ أو $f(x) = -g(x)$.

التحقق من الحلول

عوّض دائمًا في المعادلة الأصلية. التربيع أو التقسيم قد يُدخل حلولًا دخيلة في بعض السياقات.

• إسقاط الحالة السالبة: $|x| = 5$ لها حلان، $x = 5$ و $x = -5$. غالبًا ما يكتب المبتدئون الحل الموجب فقط.
• استخدام AND مقابل OR بشكل معكوس: $|x| < c$ تستخدم AND (بين $-c$ و $c$)؛ $|x| > c$ تستخدم OR (أقل من $-c$ أو أكبر من $c$). تبديلهما يعطي إجابات خاطئة.
• نسيان أن $c$ يجب أن يكون غير سالب: $|f(x)| = -3$ ليس لها حل لأن $|f(x)| \geq 0$ دائمًا.
• خلط الإشارات في الحالة السالبة: $|2x - 3| = 7$ تعطي $2x - 3 = -7$، وليس $-(2x) - 3 = 7$. اعكس إشارة التعبير الكامل المساوي لـ $-c$.
• إغفال الحلول الدخيلة: بعد الحل، عوّض دائمًا في المعادلة الأصلية. إذا كان هيكل القيمة المطلقة يعتمد على أن يكون $f(x)$ غير سالب، فتحقق من ذلك.