密度 2.2 g/cm³ 的石英纖維與密度 1.25 g/cm³ 的聚酯樹脂結合，石英依重量佔 67%。已知 Ef = 73 GPa、Em = 2.72 GPa、Gf = 8.4 GPa、Gm = 2.15 GPa，求橫向勁度 E22 與面內剪力模數 G12（取到小數點後一位）。

Step-by-step solution

1. 1

   先把重量分率換算成體積分率。 混合律都是以體積分率寫成的，所以依重量的 $67\%$ 必須先換算。取 $W_f=0.67$、$W_m=0.33$，

   $\frac{W_f}{\rho_f}=\frac{0.67}{2.2}=0.304545,\qquad \frac{W_m}{\rho_m}=\frac{0.33}{1.25}=0.264000$

   $V_f=\frac{0.304545}{0.304545+0.264000}=\frac{0.304545}{0.568545}=0.5357,\qquad V_m=0.4643$

   注意纖維從重量上的 $67\%$ 掉到體積上只剩 $53.6\%$，因為石英是密度較大的那一相。

2. 2

   橫向要選反（Reuss）混合律。 橫過纖維受載時，纖維與基材承受相同的應力、應變相加，所以按比例相加的是柔度而不是勁度：

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}$

   在這裡改用正混合律 $E=V_fE_f+V_mE_m$ 是典型錯誤；那條式子只適用於沿纖維方向。

3. 3

   算出 E₂₂。

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.5356572}{73}=0.007338,\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.4643428}{2.72}=0.170714$

   $\frac{1}{E_{22}}=0.178052\quad\Longrightarrow\quad E_{22}=5.6163\ \text{GPa}$

4. 4

   剪力模數套用同一條規則。

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}=\frac{0.5356572}{8.4}+\frac{0.4643428}{2.15}=0.063769+0.215973=0.279742$

   $G_{12}=3.5747\ \text{GPa}$

5. 5

   四捨五入到小數點後一位。

   $\boxed{E_{22}=5.6\ \text{GPa},\qquad G_{12}=3.6\ \text{GPa}}$

6. 6

   檢查兩個結果是否落在物理要求的位置。 反混合律的結果永遠落在兩種組成的值之間，而且明顯偏向較弱的那一個：$E_{22}=5.6$ GPa 靠近 $E_m=2.72$ GPa，離 $E_f=73$ GPa 很遠；$G_{12}=3.6$ GPa 則介於 $2.15$ 與 $8.4$ GPa 之間。作為對照，縱向勁度會是 $V_fE_f+V_mE_m=0.5357(73)+0.4643(2.72)=40.4$ GPa——硬了七倍，這正是單向積層板如此異向的原因。