兩力作用於一點。F_A = 700 N 指向正 x 軸上方 30 度，F_B 大小未知且水平分量與 F_A 反向，與負 x 方向夾角 theta。求 F_B 與 theta，使合力為沿 +y 軸的 1500 N。

Step-by-step solution

1. 1

   把圖翻成兩個純量條件。 平面上的一個向量方程式等於兩條方程式。「合力沿 $+y$」表示 $x$ 分量總和為零；「合力是 $1500$ N」接著表示 $y$ 分量總和是 $1500$：

   $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=1500$

   整個訣竅就在這裡——你完全不需要合力的方向餘弦，只要這兩行。

2. 2

   把已知的力分解。 $F_A$ 與正 $x$ 軸夾 $30^\circ$：

   $F_{Ax}=700\cos 30^\circ=606.2178\text{ N},\qquad F_{Ay}=700\sin 30^\circ=350\text{ N}$

   $F_{Ax}$ 要多留幾位小數；在這裡把它捨成 $606$，最後的角度會偏掉大約十分之一度。

3. 3

   把兩個條件套到 $F_B$ 上。 把 $F_B$ 的分量寫成 $-F_B\cos\theta$（與 $F_A$ 反向）與 $+F_B\sin\theta$：

   $606.2178-F_B\cos\theta=0\;\Longrightarrow\;F_B\cos\theta=606.2178$
   $350+F_B\sin\theta=1500\;\Longrightarrow\;F_B\sin\theta=1150$

   兩條方程式、兩個未知數——但它們不是線性的，所以要當成一組一起解。

4. 4

   平方相加求出大小。 兩式各自平方再相加會把 $\theta$ 消掉，因為 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$：

   $F_B^2=1150^2+606.2178^2=1322500+367500=1690000$

   $F_B=\sqrt{1690000}=1300\text{ N}$

   這裡的數字剛好精確：$606.2178^2=367500$ 一位不差，所以 $F_B$ 得到乾淨的 $1.30\times 10^3$ N。

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   相除求出角度。 第二式除以第一式即可消去 $F_B$：

   $\tan\theta=\frac{1150}{606.2178}=1.89702\;\Longrightarrow\;\theta=\arctan(1.89702)=62.2^\circ$

   （若帶著 $606.2$ 而不是精確的 $700\cos 30^\circ$，就會得到常見的 $62.3^\circ$；取到小數點後一位的正確值是 $62.2^\circ$。）

6. 6

   用兩個條件檢查答案。 取 $F_B=1300$ 與 $\theta=62.204^\circ$：

   $1300\cos 62.204^\circ=606.2\quad\text{恰好抵銷 }F_{Ax}\;\checkmark$
   $350+1300\sin 62.204^\circ=350+1150=1500\;\checkmark$

   兩個條件都成立，所以合力確實是沿 $y$ 軸正向的 $1500$ N。