環氧樹脂中含 75% 體積芳綸纖維的單層板，纖維剪力模數 27 GPa、基材 6 GPa。用反混合律求面內剪力模數 G12（取到小數點後兩位）。

Step-by-step solution

1. 1

   選用串聯（反）形式。 面內剪力並不是沿纖維長度方向加載纖維，所以纖維與基材承受相同的剪應力，兩者的剪應變相加。這是串聯配置，相加的是柔度而不是模數：

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}.$

2. 2

   寫下體積分率。 芳綸佔 $75\%$，所以

   $V_f=0.75,\qquad V_m=1-0.75=0.25.$

3. 3

   算出兩個柔度項。

   $\frac{V_f}{G_f}=\frac{0.75}{27}=0.0277778\ \text{GPa}^{-1},\qquad \frac{V_m}{G_m}=\frac{0.25}{6}=0.0416667\ \text{GPa}^{-1}.$

   注意基材雖然只佔四分之一體積，貢獻的項卻比較大——在串聯模型裡是軟的那一相主導。

4. 4

   相加後取倒數。

   $\frac{1}{G_{12}}=0.0277778+0.0416667=0.0694444\ \text{GPa}^{-1},$
   $G_{12}=\frac{1}{0.0694444}=14.40\ \text{GPa}.$

   這個倒數剛好整齊：$0.0694444=\tfrac{1}{14.4}$。

5. 5

   檢查結果是否落在物理要求的範圍。 $G_{12}$ 必須介於 $G_m=6$ 與 $G_f=27$ 之間，而且比較靠近小的那一個。$14.40$ 兩點都滿足。作為對照，並聯（混合律）公式會給出 $0.75(27)+0.25(6)=21.75\ \text{GPa}$——硬得多，而且對剪力來說是錯的模型。