長 5 公尺的懸臂梁 AB 固定於 B，自由端 A 受向下 1800 kN 集中載重，靠支承的 4 公尺受 500 kN/m 均佈載重。求最大剪力與最大彎矩，並描述剪力圖與彎矩圖。

Step-by-step solution

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   先看出極值必然落在哪裡。 懸臂梁只承受向下載重時，剪力與彎矩都由自由端的零值單調成長到固定端的最大值。所以可以直接在 $B$ 處算出這兩個極值，不必去搜尋內部的轉折點。

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   把均佈載重換成它的合力。 均佈載重作用在 $4$ 公尺上：

   $W=wL_u=500\times 4=2000\ \text{kN}$

   作用點在該段的形心，也就是距 $B$ 為 $2$ 公尺處（等價於距 $A$ 為 $3$ 公尺）。拿這個合力去求支承反力與端點彎矩是合法的，但兩張圖本身仍必須從分佈載重逐點建起。

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   求固定端的反力。 鉛直方向的平衡給出反力

   $R_B=P+W=1800+2000=3800\ \text{kN}\ (\uparrow)$

   對 $B$ 取力矩平衡則給出固定端彎矩

   $M_B=P\times 5+W\times 2=1800(5)+2000(2)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

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   從自由端開始建剪力圖。 由 $A$ 量起 $x$：

   $0\le x\le 1:\quad V(x)=1800\ \text{kN（定值）}$

   $1\le x\le 5:\quad V(x)=1800+500(x-1)\ \text{（直線）}$

   所以剪力圖在最前面一公尺是 $1800$ kN 的水平線，之後是一段直線斜升，到 $B$ 處達到 $1800+500(4)=3800$ kN，反力在那裡把圖形收回到零。

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   建立彎矩圖。 因為就大小而言 $M(x)=\int_0^x V\,dx$（懸臂梁上呈負彎矩）：

   $0\le x\le 1:\quad M(x)=1800x\ \text{（線性，達 }1800\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m，於 }x=1)$

   $1\le x\le 5:\quad M(x)=1800x+250(x-1)^2\ \text{（拋物線）}$

   在 $x=5$ 處：$M=9000+250(16)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$，與由平衡求得的固定端彎矩相符。

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   寫出兩個極值。

   $V_{\max}=3800\ \text{kN},\qquad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

   兩者都出現在固定端 $B$；在自由端 $A$ 則都是零。

   $\boxed{V_{\max}=3800\ \text{kN},\quad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}}$

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   交叉檢查兩條路徑。 $B$ 處的彎矩被算了兩次——一次用靜力學（$P\cdot 5+W\cdot 2$），一次用剪力圖積分（$1800x+250(x-1)^2$ 在 $x=5$ 處）——兩者都給出 $13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$。平衡值與積分出來的圖形一致，正是檢驗兩張圖畫得前後一致的標準做法。