一張 3 年期債券每年付息 80，到期時償還面額 1,000，目前市價 938。求它的到期殖利率 y，也就是解 938 = 80/(1+y) + 80/(1+y)^2 + 1080/(1+y)^3。

Step-by-step solution

1. 1

   把這條式子讀成「價格＝現金流的現值」。 每一項都用同一個未知折現率 $y$ 把一筆款項折回今天。最後一項是 $1080$ 而不是 $80$，因為第 3 年同時收到最後一次利息和 $1{,}000$ 面額：$80+1000=1080$。到期殖利率正是那個唯一能讓現值等於報價的折現率。

2. 2

   代入 $x=1+y$ 並去分母。 令 $x=1+y$，式子成為

   $938=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}$

   兩邊乘 $x^3$ 得到一個三次方程：

   $938x^3-80x^2-80x-1080=0$

   這說明了為什麼沒有漂亮的公式：期數一到三期以上，殖利率就滿足次數 $\ge 3$ 的多項式，只能用數值方法求。但這個代換仍然值得做，因為它讓函數對 $x$ 明顯遞減 —— 殖利率越高、價格越低 —— 所以在經濟上有意義的根恰好只有一個。

3. 3

   用平價作為搜尋的定錨點。 若 $y=8\%$（票面利率），價格會是

   $\frac{80}{1.08}+\frac{80}{1.08^2}+\frac{1080}{1.08^3}=74.07+68.59+857.34=1000.00$

   正好等於面額。實際市價是 $938<1000$，屬折價，所以殖利率必然高於 $8\%$。光這一個檢查，就在任何試誤之前告訴你該往哪個方向找。

4. 4

   用兩次試算把根夾住。 試 $y=10\%$（$x=1.10$）：

   $\frac{80}{1.10}+\frac{80}{1.21}+\frac{1080}{1.331}=72.7273+66.1157+811.4200=950.2630$

   還高於 $938$，所以殖利率更高。再試 $y=11\%$（$x=1.11$）：

   $\frac{80}{1.11}+\frac{80}{1.2321}+\frac{1080}{1.367631}=72.0721+64.9298+789.6867=926.6886$

   這次低於 $938$。根被夾在 $10\%$ 與 $11\%$ 之間。

5. 5

   先內插，再迭代收斂。 對兩個價格做線性內插，得到第一個估計

   $y\approx 0.10+0.01\cdot\frac{950.2630-938}{950.2630-926.6886}=0.10+0.01\cdot\frac{12.2630}{23.5744}=0.1052$

   再對 $f(x)=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}-938$ 做一兩步牛頓法，即穩定在

   $x=1.1051578\quad\Longrightarrow\quad y=0.1051578$

6. 6

   把價格重算一次來驗答案。 取 $y=10.51578\%$：

   $\frac{80}{1.1051578}+\frac{80}{1.1051578^2}+\frac{1080}{1.1051578^3}=72.3879+65.5000+800.1121=938.00$

   價格重現到分位，所以 $y\approx 10.52\%$。順帶注意：像 $10.3\%$ 這種粗估會把債券定價在約 $943.1$ —— 高了五塊多 —— 這正是夾根那一步的意義：不要在第一個看起來很接近的估計就停手。