參數式函數 vs 隱式函數

參數式 與 隱式 是描述無法套入簡單「$y$ 為 $x$ 的函數」形式的曲線的兩種方式。

參數式

參數式 把 $x$ 和 $y$ 都表示為第三個變數 $t$（參數，常為時間）的函數：

$x = f(t), \quad y = g(t)$

例子：半徑為 1 的圓：$x = \cos t$，$y = \sin t$，其中 $t \in [0, 2\pi]$。

優點：自然地描述運動（每個 $t$ 給出一個位置），輕鬆處理環路與自交。

隱式

隱式 使用單一方程式：

$F(x, y) = 0$

同一個圓：$x^2 + y^2 - 1 = 0$。

優點：唯一的代數方程式，容易檢驗某點是否在曲線上（直接代入並檢查即可）。

何時用哪種

情形	最佳形式
運動 / 軌跡	參數式
需要隱函數微分	隱式
曲線有自交	參數式
代數 / 符號操作	隱式
透過 $t$ 值繪圖	參數式

解題範例：導數

對於圓 $x^2 + y^2 = 1$：

• 隱函數微分：$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，所以 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
• 參數式（$x = \cos t$，$y = \sin t$）：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$。✓

兩者給出相同答案；只是過程不同。

轉換

有時可以透過消去參數（參數式 → 隱式）或參數化（隱式 → 參數式）在兩種形式之間轉換。但並不總能乾淨地實現。