Discrete vs Continuous

離散與連續是數學中最具影響力的區分之一。判斷錯誤會導致用錯工具、用錯分布、得出錯誤結論。

離散

離散量只能取 分離的值，通常是整數或有限集合。

範例：班級的學生人數、擲骰子的結果、每單位的瑕疵數、網頁的點擊次數。

數學工具：求和 $\sum$、機率質量函數 $P(X = k)$、組合學、差分方程、圖論。

連續

連續量可以在 某個範圍內取任意值，並具有任意精度。

範例：身高、體重、時間、溫度、距離。

數學工具：積分 $\int$、機率密度函數 $f(x)$（其中 $P(X = \text{確切值}) = 0$）、微分方程、微積分。

抉擇：用哪個框架？

面向	離散	連續
值	分離、可數	範圍、不可數
確切值的機率	$P(X = k) > 0$	$P(X = a) = 0$ — 必須使用區間
「求和」工具	$\sum$	$\int$
方程式類型	差分方程	微分方程
常見分布	二項、卜瓦松、幾何	常態、指數、均勻

常見錯誤

• 把計數當作連續。「平均每戶有 2.3 個小孩」——作為摘要沒問題，但「恰好 2.3 個小孩」的機率毫無意義。
• 把測量值當作離散。身高「是 170 公分」是把連續量四捨五入；假設離散性的統計檢定會遺失資訊。
• 在機率中混用：不要對連續的機率密度函數求和，要積分。不要對離散的機率質量函數積分，要求和。

兩者之間的橋樑

中央極限定理 讓許多小變數的離散和逼近連續的常態分布。連續性校正 在二項（離散）與常態（連續）機率之間轉換。黎曼和 是通往積分的離散橋樑。